Złoty podział

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenie tego wyrażenia.

Złoty podział, podział harmoniczny, boska proporcja, łac. sectio aurea — podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej (stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ - czyt. "fi"). Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka.

Liczba φ
System dwójkowy	1.1001111000110111011...
System dziesiętny	1.6180339887498948482...
System szesnastkowy	1.9E3779B97F4A7C15F39...
Ułamek łańcuchowy	$[1; 1, 1, 1, \dots]$ $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}}$
Ułamek zwykły	$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

φ = (a+b) : a = a : b

Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika

$1 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b}$

czyli

1 + 1/φ = φ

Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, równość powyższą sprowadza się do postaci ogólnej równania kwadratowego:

φ² – φ – 1 = 0

Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste:

$\frac{1\pm\sqrt 5}{2}$

jedno z nich jest dodatnie:

$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618033989$

Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano np. w planach budowli na Akropolu.

Spis treści

1 Złota liczba
2 Przykłady
3 Złoty prostokąt
- 3.1 Przykład konstrukcji
4 Zobacz też
5 Linki zewnętrzne

[edytuj] Złota liczba

Liczba φ bywa nazywana złotą liczbą

Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...

co daje kolejno:

0, 1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89... → 1/φ

Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.

Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną:

$\frac{1}{\varphi}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\varphi-1\approx 0{,}618033989$

[edytuj] Przykłady

Złoty podział w pięciokącie foremnym.

Punkt przecięcia przekątnych w pięciokącie foremnym dzieli je według złotego podziału.
Korzystając z twierdzenia Ptolemeusza można wykazać, że bok $a$ pięciokąta foremnego stanowi złotą część jego przekątnej $b$ :

$b={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\cdot a.$

Bok dziesięciokąta foremnego ma długość równą długości dłuższego odcinka otrzymanego ze złotego podziału promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie.
$\operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 \right)=\frac{1}{\varphi}$ .

[edytuj] Złoty prostokąt

Jest to prostokąt, którego boki pozostają w złotym stosunku. Charakteryzuje się tym, że po dorysowaniu doń kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta otrzymuje się nowy, większy złoty prostokąt. Wynika to wprost z definicyjnej własności liczby φ – jeśli na początku:

$\frac{a}{b} = \varphi$

(na rysunku poniżej prostokąt oznaczony kolorem czerwonym), to po dobudowaniu kwadratu na dłuższym boku (zaznaczony na czarno) otrzymuje się prostokąt o bokach a+b i a:

$\frac{a+b}{a} = \varphi.$

Odpowiednio w drugą stronę, odcinając od (dużego) złotego prostokąta kwadrat o boku równym krótszemu bokowi prostokąta (czarny) otrzymuje się prostokąt (czerwony), którego boki nadal pozostają w złotym stosunku.

Powtarzając te czynności otrzymuje się kolejne coraz większe lub coraz mniejsze złote prostokąty.

[edytuj] Przykład konstrukcji

Powyżej zilustrowano jeden z wielu sposobów wyznaczenia złotego podziału. Kolejne kroki konstrukcji:

Zbuduj kwadrat o dowolnie wybranym boku a.
Znajdź środek jednego z boków kwadratu (na rysunku jest to środek dolnego boku).
Weź odcinek łączący środek boku z końcem boku przeciwległego (na rysunku – odcinek c) i odłóż go ze środka boku na prostej, w której zawiera się ten bok (czynność na rysunku zaznaczona łukiem okręgu).
Część odłożonego odcinka, wystająca poza bok kwadratu, wyznacza szukaną długość b.

Długości początkowego odcinka a i znalezionego b pozostają w złotym stosunku, a/b=φ, wyznaczają więc złoty podział skonstruowanego mimochodem odcinka a+b.

Algebraiczny dowód poprawności konstrukcji

Znaleziony w trzecim kroku odcinek c jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i a/2. Na mocy twierdzenia Pitagorasa:

$c^2 = a^2 + \left( \frac{a}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}\;a^2$