David Hilbert

David Hilbert
David Hilbert (1912)
Né	(23/01/1862) Janvier 23, 1862 Königsberg ou Wehlau, Province de Prusse (aujourd'hui Znamensk, Kaliningrad Oblast, Russie )
Mort	14 février 1943 (14/02/1943) (81 ans) Göttingen, Allemagne
Résidence	Allemagne
Nationalité	Allemand
Les champs	Mathématicien et Philosophe
Institutions	Université de Königsberg Université de Göttingen
Alma mater	Université de Königsberg
Conseiller de doctorat	Ferdinand von Lindemann
Doctorants	Wilhelm Ackermann Otto Blumenthal Werner Boy Richard Courant Haskell Curry Max Dehn Paul Funk Kurt Grelling Alfréd Haar Erich Hecke Earle Hedrick Ernst Hellinger Wallie Hurwitz Oliver Kellogg Hellmuth Kneser Robert König Emanuel Lasker Charles Max Mason Erhard Schmidt Andreas Speiser Hugo Steinhaus Gabriel Soudan Teiji Takagi Hermann Weyl Ernst Zermelo
Connu pour	Théorème de la base de Hilbert Les axiomes de Hilbert Problèmes de Hilbert Le programme de Hilbert Action d'Einstein-Hilbert Espace de Hilbert
Influences	Emmanuel Kant
Prix remarquables	ForMemRS

David Hilbert, ForMemRS (allemand: [Daːvɪt hɪlbɐt]; 23 janvier 1862 - le 14 Février, 1943) était un Allemand mathématicien . Il est reconnu comme l'un des mathématiciens les plus influents et les plus universelles des 19e et 20e siècles. Hilbert a découvert et développé un large éventail d'idées fondamentales dans de nombreux domaines, y compris la théorie des invariants et de la axiomatisation de la géométrie. Il a également formulé la théorie de Espaces de Hilbert, une des bases de analyse fonctionnelle.

Hilbert a adopté et chaudement défendu Georg Cantor théorie des ensembles s 'et nombres transfinis. Un exemple célèbre de son leadership dans les mathématiques est son 1900 la présentation d'un collection de problèmes qui fixent le cadre pour une grande partie de la recherche mathématique du 20e siècle.

Hilbert et ses étudiants ont contribué de manière significative à l'établissement de rigueur et développé des outils importants utilisés dans la physique mathématique moderne. Hilbert est connu comme l'un des fondateurs de théorie de la preuve et la logique mathématique, ainsi que pour être parmi les premiers à distinguer entre les mathématiques et métamathématique.

Vie

Hilbert, le premier de deux enfants de Otto et Maria Therese (Erdtmann) Hilbert, est né dans la Province de Prusse - soit dans Königsberg (selon la propre déclaration de Hilbert) ou dans Wehlau (connu depuis 1946 comme Znamensk) près de Königsberg où son père travaillait au moment de sa naissance. À l'automne de 1872, il entra dans la Friedrichskolleg Gymnasium (Collegium Fridericianum, la même école que Kant avait assisté 140 années avant), mais après une période malheureuse, il transféré à (automne 1879) et diplômé de (printemps 1880), plus orientée vers la science-Wilhelm Gymnasium. Après sa graduation, il se inscrit (automne 1880) à la Université de Königsberg, le "Albertina". Au printemps de 1882, Hermann Minkowski (deux ans plus jeune que Hilbert et aussi natif de Königsberg, mais tellement talentueux qu'il avait obtenu son diplôme au début de son gymnase et allé à Berlin pour trois semestres), est retourné à Königsberg et est entré à l'université. "Hilbert savait sa chance quand il le vit. En dépit de la désapprobation de son père, il est vite devenu amis avec le timide, douée Minkowski." En 1884, Adolf Hurwitz arrivé de Göttingen comme un Extraordinarius, soit un professeur agrégé. Un échange scientifique intense et fructueuse entre les trois a commencé, et Minkowski et Hilbert serait surtout exercer une influence réciproque sur l'autre à différents moments de leur carrière scientifique. Hilbert a obtenu son doctorat en 1885, avec une thèse, écrite en vertu de Ferdinand von Lindemann, intitulé Spezieller Qui invariante Eigenschaften binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Sur les propriétés invariantes de la spéciale formes binaires, en particulier les fonctions harmoniques sphériques ").

Hilbert est resté à l'université de Königsberg comme un Privatdozent (Maître de conférences) de 1886 à 1895. En 1892, Hilbert marié Käthe Jerosch (1864-1945), "la fille d'un marchand Konigsberg, une jeune femme franche avec une indépendance d'esprit qui adapté son propre ". Bien à Königsberg ils avaient leur un enfant, Franz Hilbert (1893-1969). En 1895, à la suite de l'intervention en son nom par Felix Klein, il a obtenu le poste de professeur de mathématiques à la Université de Göttingen, à l'époque le meilleur centre de recherche pour les mathématiques dans le monde. Il y est resté pour le reste de sa vie.

Son fils Franz a souffert toute sa vie d'une maladie mentale non diagnostiquée: son intelligence inférieure était une terrible déception à son père et ce malheur était une question de détresse pour les mathématiciens et étudiants à Göttingen. Minkowski - Hilbert «meilleur et le plus vrai ami" - morts prématurément d'une rupture de l'appendice en 1909.

L'Institut de mathématiques à Göttingen. Son nouveau bâtiment, construit avec des fonds du Fondation Rockefeller, a été ouverte par Hilbert et Courant en 1930.

L'école Göttingen

Parmi les étudiants de Hilbert étaient Hermann Weyl, champion d'échecs Emanuel Lasker, Ernst Zermelo, et Carl Gustav Hempel. John von Neumann était son assistant. À l'Université de Göttingen, Hilbert était entouré d'un cercle social de certains des mathématiciens les plus importants du 20e siècle, comme Emmy Noether et Alonzo Church.

Parmi ses 69 Ph.D. étudiants à Göttingen en avait beaucoup qui devint plus tard mathématiciens célèbres, y compris (avec date de thèse): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911), et Wilhelm Ackermann (1925). Entre 1902 et 1939 Hilbert était rédacteur en chef du Mathematische Annalen, le premier journal mathématique du temps.

"Bon, il n'a pas eu assez d'imagination pour devenir mathématicien".

La réponse de -Hilbert en apprenant que l'un de ses étudiants avait abandonné pour étudier la poésie.

Ans plus tard

Hilbert a vécu pour voir les nazis purger la plupart des membres du corps professoral de premier plan au Université de Göttingen en 1933. Ceux chassé inclus Hermann Weyl (qui avait pris la chaise de Hilbert quand il a pris sa retraite en 1930), Emmy Noether et Edmund Landau. Celui qui a dû quitter l'Allemagne, Paul Bernays, avait collaboré avec Hilbert la logique mathématique, et co-auteur avec lui le livre important Grundlagen der Mathematik (qui a finalement paru en deux volumes, en 1934 et 1939). Ce était une suite au Hilbert Livre Ackermann Principes de logique mathématique de 1928.

Environ un an plus tard, Hilbert a assisté à un banquet et était assis à côté de la nouvelle ministre de l'Éducation, Bernhard Rust. Rust a demandé, "Comment les mathématiques à Göttingen, maintenant qu'il a été libéré de l'influence juive?" Hilbert a répondu, «Les mathématiques à Göttingen? Il n'y a vraiment aucun plus."

De Hilbert la tombe:
Wissen müssen wir
Wir werden Wissen

Au moment de Hilbert est mort en 1943, les nazis avaient presque complètement restaffed l'université, dans la mesure où beaucoup de l'ancienne faculté avaient été soit juive ou mariés à des Juifs. L'enterrement de Hilbert a été suivie par moins d'une douzaine de personnes, dont deux seulement étaient collègues universitaires, parmi eux Arnold Sommerfeld, un physicien théorique et aussi natif de Königsberg. Nouvelles de sa mort ne est devenu connu dans le monde plus large six mois après il était mort.

Sur ses opinions religieuses, il était agnostique. Il a également fait valoir que la vérité mathématique est indépendante de l'existence de Dieu ou d'autres hypothèses a priori.

L'épitaphe sur sa pierre tombale à Göttingen se compose des lignes célèbres, il a parlé à la fin de son discours de départ à la retraite à la Société des scientifiques allemands et médecins à l'automne 1930. Les mots ont été donnés en réponse à la maxime latine: " Ignorabimus »ou« Nous ne savons pas, nous ne saurons pas ":

Wir müssen Wissen.

Wir werden Wissen.

En Anglais:

Nous devons savoir.

Nous saurons.

La veille Hilbert prononcé ces phrases à la réunion annuelle 1930 de la Société des scientifiques allemands et médecins, Kurt Gödel-à une table ronde lors de la Conférence sur l'épistémologie tenue conjointement avec les réunions de la Société-provisoirement annoncé la première expression de son théorème de l'incomplétude.

Hilbert résout le problème de Gordan

Le premier travail de Hilbert sur les fonctions invariantes l'a conduit à la démonstration en 1888 de son célèbre théorème de finitude. Vingt ans plus tôt, Paul Gordan avait démontré la théorème de la finitude de générateurs pour les formes binaires en utilisant une approche de calcul complexe. Les tentatives de généraliser sa méthode à des fonctions avec plus de deux variables échoué en raison de l'énorme difficulté des calculs impliqués. Afin de résoudre ce qui est devenu connu dans certains milieux comme un problème de Gordan, Hilbert a réalisé qu'il était nécessaire de prendre un chemin complètement différent. En conséquence, il a démontré Théorème de la base de Hilbert, montrant l'existence d'un ensemble fini de générateurs, pour les invariants de QUANTIQUE dans ne importe quel nombre de variables, mais dans une forme abstraite. Ce est, tout en démontrant l'existence d'un tel ensemble, ce ne était pas un preuve constructive - il n'a pas afficher "un objet" - mais plutôt, ce était un existence preuve et se est appuyé sur l'utilisation de la Loi du Milieu Exclu dans une extension infinie.

Hilbert a envoyé ses résultats à la Mathematische Annalen. Gordan, l'expert de la maison sur la théorie des invariants pour le Mathematische Annalen, pourrait ne pas apprécier la nature révolutionnaire du théorème de Hilbert et a rejeté l'article, critiquant l'exposition parce qu'elle ne était pas suffisamment complète. Son commentaire était:

Das ist nicht Mathematik. Das ist Théologie.

(Ce ne est pas les mathématiques. Ce est la théologie.)

Klein, d'autre part, a reconnu l'importance du travail, et garanti qu'elle serait publiée sans aucune modification. Encouragé par Klein, Hilbert dans un second article étendu sa méthode, fournir des estimations sur le degré maximal de l'ensemble minimal de générateurs, et il tire une fois de plus à l'Annalen. Après avoir lu le manuscrit, Klein a écrit, en lui disant:

Sans doute est-ce le travail le plus important sur l'algèbre générale que le Annalen n'a jamais publié.

Plus tard, après l'utilité de la méthode de Hilbert a été universellement reconnu, Gordan lui dirait:

Je me suis convaincu que même la théologie a ses mérites.

Pour tous ses succès, la nature de sa preuve agité jusqu'à plus de mal que de Hilbert aurait pu imaginer à l'époque. Bien que Kronecker avait concédé, Hilbert plus tard répondre à des critiques similaires des autres que «de nombreuses constructions différentes sont englobées dans une idée fondamentale" - en d'autres termes (pour citer Reid): «Grâce à une preuve de l'existence, Hilbert avait pu obtenir un construction »; "La preuve" (ce est à dire les symboles sur la page) était "l'objet". Pas tous étaient convaincus. Tandis que Kronecker mourrait bientôt, son la philosophie constructiviste continuerait avec le jeune Brouwer et son développement intuitionniste «école», au grand tourment de Hilbert dans ses dernières années. En effet Hilbert perdrait son «élève doué» Weyl intuitionnisme - "Hilbert a été perturbé par la fascination de son ancien élève avec les idées de Brouwer, qui a suscité dans la mémoire de Hilbert Kronecker". Brouwer l'intuitionniste en particulier opposé à l'utilisation de la loi du milieu exclu sur des ensembles infinis (comme Hilbert avait utilisé). Hilbert répondrait:

Reprenant le principe du tiers exclu du mathématicien ... est le même que le boxeur ... interdisant l'usage de ses poings.

Axiomatisation de la géométrie

Le texte Grundlagen der Geometrie (tr .: fondements de la géométrie) publiés par Hilbert en 1899 propose un ensemble formel, le Les axiomes de Hilbert, en remplaçant les traditionnelles axiomes d'Euclide . Ils évitent faiblesses identifiées dans ceux de Euclid , dont les œuvres étaient à l'époque encore utilisé manuel-mode. Indépendamment et simultanément, un 19-year-old étudiant américain nommé Robert Lee Moore a publié un ensemble équivalent d'axiomes. Certains des axiomes coïncident, alors que certains des axiomes dans le système de Moore sont des théorèmes de Hilbert et vice-versa.

L'approche de Hilbert a marqué le passage à la modernité méthode axiomatique. En cela, Hilbert a été anticipé par Le travail de Peano de 1889. axiomes ne sont pas pris comme des vérités évidentes. Géométrie peut traiter les choses, dont nous avons intuitions puissantes, mais il ne est pas nécessaire d'attribuer une signification explicite aux concepts définis. Les éléments, tels que Point, ligne , plan , et d'autres, pourrait être substitué, comme le dit Hilbert, par des tables, chaises, verres de bière et d'autres objets. Ce sont leurs relations définies qui sont abordés.

Hilbert énumère d'abord les concepts définis: point, ligne, plan, couché sur (une relation entre les points et les avions), intermédiarité, la congruence de paires de points, et congruence des angles . Les axiomes unifier à la fois la géométrie plane et la géométrie d'Euclide solide dans un système unique.

Les 23 problèmes

Hilbert mis en avant une liste la plus influente de 23 problèmes non résolus au Congrès international des mathématiciens à Paris en 1900. Ce est généralement compté la compilation la plus réussie et profondément réfléchie de problèmes ouverts jamais être produites par un mathématicien individuel.

Après re-travailler les fondements de la géométrie classique, Hilbert aurait extrapolé au reste des mathématiques. Son approche diffère cependant de la «fondationnaliste 'plus tard, Russell-Whitehead ou« encyclopédiste » Nicolas Bourbaki, et à partir de son contemporain Giuseppe Peano. La communauté mathématique dans son ensemble pourrait se engager dans les problèmes qu'il avait identifiés comme des aspects cruciaux des domaines des mathématiques, il a fallu pour être la clé.

Le jeu de problème a été lancé comme un talk "Les problèmes de mathématiques", présenté au cours de la Deuxième Congrès international des mathématiciens est tenue à Paris. Voici l'introduction du discours que Hilbert a donné:

Qui d'entre nous ne serait pas heureux de lever le voile derrière lequel se cache l'avenir; pour contempler les développements à venir de notre science et les secrets de son développement dans les siècles à venir? Quelles seront les extrémités vers laquelle l'esprit des générations futures de mathématiciens aura tendance? Quelles méthodes, quels nouveaux faits sera le nouveau siècle révéler dans le domaine vaste et riche de la pensée mathématique?

Il a présenté moins de la moitié des problèmes au Congrès, qui ont été publiés dans les actes du Congrès. Dans une publication ultérieure, il a étendu le panorama, et est arrivé à la formulation des désormais canoniques 23 problèmes de Hilbert. Le texte intégral est important, car l'exégèse des questions peut encore être un sujet de débat inévitable, chaque fois qu'il est demandé combien ont été résolus.

Certains d'entre eux ont été résolus dans un court laps de temps. D'autres ont été discutés au cours du 20e siècle, avec quelques-uns maintenant être prises manière inadéquate ouvert à venir à la fermeture. Certains continuent même à ce jour de rester un défi pour les mathématiciens.

Formalisme

Dans un compte qui était devenu la norme par le milieu du siècle, le problème ensemble de Hilbert était aussi une sorte de manifeste, qui a ouvert la voie au développement de la l'école formaliste, l'une des trois grandes écoles de mathématiques de 20e siècle. Selon le formaliste, les mathématiques sont la manipulation de symboles selon des règles convenues formelles. Il est donc une activité autonome de la pensée. Il ya, cependant, une salle de douter que les propres vues de Hilbert étaient simpliste formaliste dans ce sens.

Le programme de Hilbert

En 1920, il a explicitement proposé un projet de recherche (en métamathématique, comme on disait alors appelé) qui est devenu connu comme Le programme de Hilbert. Il voulait les mathématiques à être formulées sur un fondement logique solide et complète. Il a estimé que, en principe, cela pourrait être fait, en montrant que:

1. toutes les mathématiques découle un système fini correctement choisie axiomes; et
2. que certains tel système de axiome est prouvable cohérente grâce à des moyens tels que la epsilon calcul.

Il semble avoir eu des raisons techniques et philosophiques pour la formulation de cette proposition. Il a affirmé son aversion pour ce qui était devenu connu sous le nom ignorabimus, toujours un problème actif dans son temps dans la pensée allemande, et remonte dans cette formulation Emil du Bois-Reymond.

Ce programme est encore reconnaissable dans le plus populaire philosophie des mathématiques, où il est généralement appelé formalisme. Par exemple, le Groupe Bourbaki a adopté une édulcorée et la version sélective de comme adéquate aux exigences de leurs projets de jumeaux de (a) à écrire des œuvres fondamentales encyclopédiques, et (b) soutenir la méthode axiomatique comme un outil de recherche. Cette approche a été couronnée de succès et influent en relation avec le travail de Hilbert en algèbre et l'analyse fonctionnelle, mais a échoué à se engager de la même manière avec ses intérêts dans la physique et la logique.

Hilbert a écrit en 1919:

Nous ne parlons pas ici d'arbitraire dans tous les sens. Mathématiques ne est pas comme un jeu dont les tâches sont déterminés par des règles fixées arbitrairement. Plutôt, ce est un système conceptuel possédant nécessité interne qui ne peut être ainsi et en aucun cas autrement.

Hilbert a publié ses vues sur les fondements des mathématiques dans le travail en 2 volumes Grundlagen der Mathematik.

Le travail de Gödel

Hilbert et les mathématiciens qui ont travaillé avec lui dans son entreprise ont été commis au projet. Sa tentative pour soutenir les mathématiques avec axiomatisée principes définitifs, qui pourrait bannir incertitudes théoriques, était cependant à l'échec.

Gödel a démontré que tout système formel non contradictoire, qui était suffisamment complète pour inclure au moins arithmétique, ne peut pas démontrer son intégralité par le biais de ses propres axiomes. En 1931, son théorème d'incomplétude montré que grand plan de Hilbert était impossible comme indiqué. Le deuxième point ne peut en aucune manière raisonnable être combiné avec le premier point, tant que le système d'axiomes est véritablement finitaire.

Néanmoins, les réalisations ultérieures de théorie de la preuve à la consistance très moins clarifié en ce qui concerne les théories de la préoccupation centrale des mathématiciens. Le travail de Hilbert avait commencé logique sur ce parcours de clarification; la nécessité de comprendre le travail de Gödel a ensuite mené à l'élaboration de théorie récursivité, puis la logique mathématique comme discipline autonome dans les années 1930. La base pour plus tard informatique théorique, dans Alonzo Church et Alan Turing a également augmenté directement de ce «débat».

Analyse fonctionnelle

Vers 1909, Hilbert se consacre à l'étude de différentiel et équations intégrales; son travail a eu des conséquences directes pour des parties importantes de l'analyse fonctionnelle moderne. Afin de réaliser ces études, Hilbert a introduit le concept d'une dimension infinie espace euclidien , appelé plus tard Espace de Hilbert. Son travail dans cette partie de l'analyse a fourni la base de contributions importantes aux mathématiques de la physique dans les deux prochaines décennies, mais d'une direction imprévue. Plus tard, Stefan Banach amplifié le concept, la définition Espaces de Banach. Des espaces de Hilbert sont une classe importante d'objets dans la zone de analyse fonctionnelle, en particulier de la théorie spectrale des opérateurs linéaires auto-adjoint, qui a grandi autour d'elle pendant le 20ème siècle.

Physique

Jusqu'en 1912, Hilbert était presque exclusivement un mathématicien «pur». Lors de la planification d'une visite de Bonn, où il a été plongé dans l'étude de la physique, son compatriote et ami mathématicien Hermann Minkowski plaisanté il a dû passer 10 jours en quarantaine avant d'être en mesure de visiter Hilbert. En fait, Minkowski semble responsable de la plupart des enquêtes de physique de Hilbert avant 1912, y compris leur séminaire conjoint à ce sujet en 1905.

En 1912, trois ans après la mort de son ami, Hilbert a tourné son attention sur le sujet presque exclusivement. Il se est arrangé pour avoir un «tuteur de la physique" pour lui-même. Il a commencé à étudier la théorie cinétique des gaz et a déménagé à élémentaire théorie du rayonnement et de la théorie moléculaire de la matière. Même après la guerre a commencé en 1914, il a poursuivi des séminaires et des classes où les œuvres d' Albert Einstein et d'autres ont été suivis de près.

En 1907, Einstein avait encadré les fondements de la théorie de la gravité, mais alors lutté pendant près de 8 ans avec un problème de confusion de mettre la théorie en forme finale. En début de l'été 1915, l'intérêt de Hilbert en physique avait mis l'accent sur la relativité générale , et il a invité Einstein à Göttingen pour offrir une semaine de conférences sur le sujet. Einstein a reçu un accueil enthousiaste à Göttingen. Durant l'été, Einstein a appris que Hilbert a également travaillé sur les équations de champ et redoubla ses propres efforts. Pendant Novembre 1915 Einstein a publié plusieurs articles culminant dans "Les équations champ de gravitation» (voir Einstein Les équations de champ). Presque simultanément David Hilbert a publié «Les fondements de la physique", une dérivation axiomatique des équations de champ (voir Action d'Einstein-Hilbert). Hilbert pleinement crédité Einstein comme l'initiateur de la théorie, et aucun conflit de priorité publique concernant les équations de champ n'a jamais pris naissance entre les deux hommes au cours de leur vie. Voir plus à priorité.

En outre, le travail de Hilbert prévu et a aidé plusieurs avancées dans le formulation mathématique de la mécanique quantique. Son travail est un aspect clé de Hermann Weyl et John von Neumann travail de l'équivalence mathématique de Werner Heisenberg mécanique des matrices et Erwin Schrödinger équation d'onde et son homonyme Espace de Hilbert joue un rôle important dans la théorie quantique. En 1926, von Neumann a montré que si les Etats atomiques ont été comprises comme vecteurs dans l'espace de Hilbert, ils correspondraient à la fois la théorie de la fonction d'onde de Schrödinger et les matrices de Heisenberg.

Tout au long de cette immersion dans la physique, Hilbert a travaillé sur la mise rigueur dans les mathématiques de la physique. Bien que fortement dépendante de mathématiques supérieur, les physiciens avaient tendance à être "bâclée" avec elle. Pour un mathématicien «pur» comme Hilbert, ce était à la fois «laid» et difficile à comprendre. Comme il commençait à comprendre la physique et comment les physiciens utilisaient les mathématiques, il a développé une théorie mathématique cohérent pour ce qu'il a trouvé, surtout dans le domaine de équations intégrales. Lorsque son collègue Richard Courant écrit le désormais classique Méthodes de la physique mathématique, y compris certaines des idées de Hilbert, at-il ajouté le nom de Hilbert comme l'auteur même si Hilbert avait pas directement contribué à la rédaction. Hilbert a déclaré: «La physique est trop dur pour les physiciens", ce qui implique que la mathématique nécessaire était généralement au-delà; le livre Courant-Hilbert a rendu plus facile pour eux.

La théorie des nombres

Hilbert a unifié le domaine de la théorie algébrique des nombres avec son traité 1897 Zahlbericht ("rapport sur le nombre" littéralement). Il a également résolu un certain nombre théorie importante problème formulé par Waring en 1770. Comme avec le théorème de finitude, il a utilisé une preuve de l'existence qui montre qu'il doit y avoir des solutions pour le problème plutôt que de fournir un mécanisme pour produire les réponses. Il avait alors peu plus de publier sur le sujet; mais l'émergence de Formes modulaires de Hilbert dans la dissertation d'un étudiant signifie son nom est en outre attaché à un domaine majeur.

Il a fait une série de conjectures sur la théorie du corps de classes. Les concepts étaient très influent, et sa propre contribution vit dans les noms des Corps de classes de Hilbert et de la Symbole de Hilbert du théorie locale du corps de classes. Les résultats ont été prouvés par la plupart 1930, après le travail par Teiji Takagi.

Hilbert ne fonctionne pas dans les zones centrales de théorie analytique des nombres, mais son nom est devenu connu pour la Hilbert-Polé conjectures, pour des raisons qui sont anecdotiques.

Citations

• Nous ne parlons pas ici d'arbitraire dans tous les sens. Mathématiques ne est pas comme un jeu dont les tâches sont déterminés par des règles fixées arbitrairement. Plutôt, ce est un système conceptuel possédant nécessité interne qui ne peut être ainsi et en aucun cas autrement.