Angle

Saviez-vous ...

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«∠", le symbole d'angle.

Dans la géométrie et la trigonométrie , un angle (au complet, angle plan) est la figure formée par deux rayons partageant une commune point final, appelé sommet de l'angle. La valeur de l'angle est le "degré de rotation" qui sépare les deux rayons, et peut être mesurée en considérant la longueur de l'arc de cercle balayé lorsque l'un des rayons est tourné autour du sommet pour coïncider avec l'autre (voir "angles de mesure" , ci-dessous). Lorsqu'il n'y a pas de possibilité de confusion, le terme "angle" est utilisé de manière interchangeable à la fois pour la configuration géométrique de lui-même et son ampleur angulaire (qui est simplement une valeur numérique).

L'angle de mot vient du latin mot angulus, ce qui signifie "un coin". Le mot angulus est un diminutif, dont la forme primitive, angus, ne se produit pas en latin. Mots apparentés sont la angere latine, signifiant "pour compresser dans un virage" ou "d'étrangler", et le grec (ἀγκύλος ankylοs), qui signifie «tordu, courbé"; les deux sont connectés à la TARTE racine * ank-, qui signifie «plier» ou «arc».

Histoire

Euclide définit un angle d'inclinaison plan que l'une à l'autre, dans un plan, de deux lignes qui correspondent à l'autre, et ne se trouvent pas droit par rapport à l'autre. Selon Proclus un angle doit être une qualité ou une quantité, ou une relation. Le premier concept a été utilisé par Eudème, qui considérait un angle comme un écart par rapport à une ligne droite ; la seconde par Carpe d'Antioche, qui le considérait comme l'intervalle ou l'espace entre les lignes qui se croisent; Euclid a adopté le troisième concept, bien que ses définitions d'angles droits, aigus et obtus sont certainement quantitative.

Mesure des angles

L'angle θ est le quotient de r et s.

Afin de mesurer un angle θ de, un arc de cercle centré au sommet de l'angle est tracé, par exemple avec une paire de compas. La longueur de l'arc s est ensuite divisé par le rayon du cercle r, et éventuellement multiplié par une constante k mise à l'échelle (qui dépend des unités de mesure qui sont choisis):

$\ Theta = \ frac {s} {r} (k)$

La valeur de θ ainsi défini est indépendant de la taille du cercle: si la longueur du rayon est modifié, la modification de longueur d'arc dans la même proportion, de sorte que le rapport s / r ne est pas modifiée.

Dans de nombreuses situations géométriques, les angles qui diffèrent par un multiple exact d'un cercle complet sont effectivement équivalent (il ne fait aucune différence combien de fois une ligne est tourné d'un cercle complet, car il finit toujours à la même place). Cependant, ce ne est pas toujours le cas. Par exemple, lors du traçage d'une courbe telle qu'une spirale en utilisant les coordonnées polaires , un tour complet supplémentaire donne lieu à un point de la courbe tout à fait différente.

Unités

Les angles sont considérées comme sans dimension, étant donné qu'ils sont définis comme le rapport des longueurs. Il existe cependant, plusieurs unités utilisées pour mesurer des angles, en fonction du choix de la constante k dans la formule ci-dessus. Parmi ces unités, traités plus en détail ci-dessous, le degré et le radian sont de loin le plus fréquent.

À l'exception notable de la radian, la plupart des unités de mesure angulaire sont définis tels que l'un cercle complet (ce est à dire une révolution) est égal à n unités, pour certains nombre entier n. Par exemple, dans le cas de degrés,

Un cercle complet de n unités est obtenue par la mise en

dans la formule ci-dessus. (Preuve. La formule ci-dessus peut être réécrite comme

Un cercle complet, pour lequel

unités, correspond à un arc de longueur égale au cercle de circonférence, qui est r 2π, afin

. Substitution n pour θ et 2π r pour s dans la formule, les résultats dans

)

Le degré , noté par un petit cercle exposant (°) est 1/360 d'un cercle complet, donc un cercle complet est de 360 °. Un avantage de cette ancienne sous-unité sexagésimal est que de nombreux angles communs en géométrie simple sont mesurées comme un nombre entier de degrés. (Le problème d'avoir tous les angles "intéressants" mesurées en nombres entiers est bien sûr insoluble.) Les fractions d'un degré peuvent être écrits en notation décimale normale (degrés par exemple 3,5 ° pour trois ans et demi), mais les sous-unités sexagésimaux suivants de la «degré-minute-seconde" système sont également en cours d'utilisation, en particulier pour coordonnées géographiques et à l'astronomie et la balistique:
- Le minute d'arc (ou MOA, minute d'arc, ou tout simplement minute) est de 1/60 de degré. Il est représenté par un seul prime ('). Par exemple, 3 ° 30 'est égal à 3 + 30/60 degrés, ou 3,5 degrés. Un format mélangé avec des fractions décimales est également parfois utilisé, par exemple 3 ° 5,72 '= 3 + 5,72 / 60 degrés. Un mile nautique a été historiquement défini comme une minute d'arc le long d'une grand cercle de la Terre.
- Le seconde d'arc (ou seconde d'arc, ou tout simplement secondes) est de 1/60 d'une minute d'arc et 1/3600 de degré. Elle est notée par une double prime ("). Par exemple, 3 ° 7 '30 "est égal à 3 + 7/60 + 30/3600 degrés, ou 3,125 degrés.

θ = s / r rad = 1 rad.

Le radian est l'angle sous-tendu par un arc de cercle qui a la même longueur que le rayon (k = 1 dans la formule donnée plus haut) du cercle. Un cercle complet est 2 π radians, et un radian est de 180 / π degrés, soit environ 57,2958 degrés. Le radian est abrégé rad, si ce symbole est souvent omis dans les textes mathématiques, radians où sont supposés sauf indication contraire. Le radian est utilisé dans pratiquement tous les travaux au-delà de la géométrie pratique mathématique simple, en raison, par exemple, à l'agréable et propriétés «naturelles» que les fonctions trigonométriques se affichent lorsque leurs arguments sont en radians. Le radian est l'(dérivé) unité de mesure angulaire dans le Système SI.

Le mil est approximativement égale à un milliradian . Il existe plusieurs définitions.

Le cercle complet (ou la révolution, rotation, pleine tourner ou à vélo) est une révolution complète. La révolution et la rotation sont abrégés rev et la pourriture, respectivement, mais juste dans r RPM (tours par minute). Une pleine rad cercle = 360 ° = 2 π = 400 = gon 4 angles droits.

Le angle droit est un quart d'un cercle complet. Ce est l'unité utilisée dans les Eléments d'Euclide . 1 angle droit = 90 ° = π / 2 rad = 100 gon.

L'angle de la triangle équilatéral est 1/6 d'un cercle complet. Ce est l'unité utilisée par les Babyloniens , et est particulièrement facile à construire à la règle et compas. Le degré, minute d'arc et secondes d'arc sont sexagésimaux sous-unités de l'unité babylonienne. 1 unité babylonienne = 60 ° = π / 3 rad ≈ 1,047197551 rad.
Le grad, également appelée année, en grades ou gon est 1/400 d'un cercle complet, donc un cercle complet est 400 diplômés et une angle droit est 100 diplômés. Ce est une sous-unité décimale de l'angle droit. Un km a été historiquement défini comme un centi-gon de l'arc le long d'un grand cercle de la Terre, de sorte que le kilomètre est l'analogue décimal à sexagésimal mile nautique. Le gon est utilisé principalement dans triangulation.

Le point, utilisé dans Navigation, est 1/32 d'un cercle complet. Ce est une sous-unité binaire du cercle complet. Nommer tous les 32 points sur une Compass Rose est appelé " boxe la boussole ". 1 point = 1/8 d'un angle droit = 11,25 ° = 12,5 gon.

Le astronomique angle horaire est 1/24 d'un cercle complet. Les sous-unités sexagésimaux ont été appelés minute de temps et seconde de temps (même se ils sont des unités d'angle). 1 heure = 15 ° = π / 12 rad = 1/6 angle droit ≈ 16,667 gon.

Le degré binaire, aussi connu comme le radian binaire (ou brad), est 1/256 d'un cercle complet. Le degré binaire est utilisé dans le calcul de telle sorte qu'un angle peut être représenté de manière efficace en une seule octet.

Le inclinaison d'une pente, ou un dégradé, ne est pas vraiment une mesure d'angle (sauf se il est explicitement donnée en degrés, comme ce est parfois le cas). Au contraire, il est égal à la tangente de l'angle, ou parfois le sinusoïdale. Gradients sont souvent exprimés en pourcentage. Pour les petites valeurs habituelles rencontrées (moins de 5%), la pente d'une inclinaison est d'environ la mesure d'un angle en radians.

Les angles positifs et négatifs

Une convention universellement adoptée par écrit mathématique est que les angles donnés sont un signe angles positifs si elle est mesurée dans le sens antihoraire, et les angles négatifs si mesurés aiguilles d'une montre, à partir d'une ligne donnée. Si aucune ligne ne est spécifié, il peut être supposé être l' axe x dans le plan cartésien . Dans de nombreuses situations géométriques un angle négatif de - θ est effectivement équivalent à un angle positif de «une rotation complète moins θ". Par exemple, une rotation en sens horaire de 45 ° (ce est un angle de -45 °) est souvent efficace équivaut à une rotation anti-horaire de 360 ° - 45 ° (ce est un angle de 315 °).

Dans géométrie tridimensionnelle, "vers la droite" et ont "antihoraire" non sens absolu, de sorte que la direction des angles positifs et négatifs doit être défini par rapport à une référence, qui est typiquement un vecteur passant par le sommet de l'angle et perpendiculaire au plan dans lequel les rayons de l'angle mensonge.

En Navigation, roulements sont mesurées à partir du Nord, de plus en plus dans le sens horaire, donc un gisement de 45 degrés est nord-est. Roulements négatives ne sont pas utilisés pour la navigation, donc au nord-ouest est de 315 degrés.

Approximations

1 ° est d'environ la largeur d'un petit doigt à bout de bras
10 ° est approximativement la largeur d'un poing fermé à bout de bras.
20 ° est d'environ la largeur d'un empan à bout de bras.

Identifier angles

Dans les expressions mathématiques, il est courant d'utiliser des lettres grecques (α, β, γ, θ, φ, ...) pour servir les variables debout pour la taille de certain angle. (Pour éviter toute confusion avec l'autre sens, le symbole π ne est pas utilisé à cette fin.) Minuscules caractères latins (a, b, c, ...) sont également utilisés. Voir les chiffres dans cet article pour des exemples.

En figures géométriques, les angles peuvent également être identifiés par les étiquettes apposées sur les trois points qui les définissent. Par exemple, l'angle au sommet A délimitée par les rayons AB et AC (ce est à dire les lignes du point A au point B et le point A au point C) est notée angle BAC ou BAC. Parfois, lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion, l'angle peut être désigné simplement par son sommet ("angle A").

Potentiellement, un angle noté, par exemple, l'angle BAC pourrait se référer à l'un des quatre angles: l'angle horaire de B à C, l'angle anti-horaire de B à C, l'angle horaire de C à B, ou l'angle de sens inverse de C à B , où la direction dans laquelle l'angle est mesuré détermine son signe (voir angles positifs et négatifs ). Cependant, dans de nombreuses situations géométriques, il est évident à partir du contexte que l'angle positif inférieur ou égal à 180 ° degrés est destiné, et se pose aucune ambiguïté. Sinon, une convention peut être adoptée de telle sorte que l'angle BAC se réfère toujours à l'angle dans le sens antihoraire (positif) de B à C, et ∠CAB à l'angle dans le sens antihoraire (positif) de C à B.

Types d'angles

Angle droit.

Aiguë (a), obtus (b) et (c) angles droits. Ici, a et b sont angles supplémentaires.

Angle rentrant.

Le angles complémentaires a et b (b est le complément d'un, et un est le complément de b).

Un angle de 90 ° ( π / 2 radians, soit un quart du cercle complet) est appelé angle droit.
Deux lignes qui forment un angle droit sont dites perpendiculaire ou orthogonal.
Angles inférieur à un angle droit (moins de 90 °) sont appelés des angles aigus ("aiguë" signifie "pointu").
Angles plus grand qu'un angle droit et inférieur à deux angles droits (entre 90 ° et 180 °) sont appelés angles obtus ("obtus" qui signifie "émoussé").
Angles égaux à deux angles droits (180 °) sont appelés angles droits.
Angles supérieure à deux angles droits mais inférieure à un cercle complet (entre 180 ° et 360 °) sont appelés angles rentrants.
Angles qui ont la même mesure sont dits congruents.
Deux angles opposés les uns des autres, formés par l'intersection de deux lignes droites qui forment un «X» comme la forme, sont appelés angles verticaux ou des angles opposés. Ces angles sont congruents.
Angles qui partagent un sommet et arête commune mais ne part pas de points intérieurs sont appelés angles adjacents.
Deux angles cette somme à une angle droit (90 °) sont appelés angles complémentaires.
La différence entre un angle droit et un angle est appelé le complément de l'angle.
Deux angles qui résument à un angle droit (180 °) sont appelés angles supplémentaires.
La différence entre un angle et un angle droit est appelé le supplément de l'angle.
Deux angles cette somme à une cercle complet (360 °) sont appelés angles explementary ou angles conjugués.
Un angle qui fait partie d'un simples polygone est appelé angle intérieur se il se trouve à l'intérieur du polygone que le simple. On notera que dans un polygone simple qui est concave, au moins un angle intérieur supérieur à 180 °.
En géométrie euclidienne , les mesures des angles intérieurs d'un triangle ajouter jusqu'à radians π, ou 180 °; les mesures des angles intérieurs d'un simple, quadrilatère ajouter jusqu'à 2 π radians ou 360 °. En général, les mesures des angles intérieurs d'un simple polygone à n côtés ajoutent à [(n - 2) × π radians], ou [(n - 2) × 180] °.
L'angle complémentaire à l'angle intérieur est appelé angle extérieur. Il mesure la quantité de "tour" on a à faire à ce sommet à tracer le polygone. Si l'angle intérieur correspondant dépasse 180 °, l'angle extérieur doit être considérée négative. Même dans un polygone non-simple, il peut être possible de définir l'angle extérieur, mais celui-ci devra choisir un orientation du plan (ou surface) de décider le signe de la mesure d'angle extérieur.
En géométrie euclidienne, la somme des angles extérieurs d'un polygone simple sera de 360 °, un tour complet.
Certains auteurs utilisent l'angle extérieur de nom d'un polygone simple à signifier simplement l'explementary (pas supplémentaire!) De l'angle intérieur . Ceci est en contradiction avec l'utilisation ci-dessus.
L'angle entre deux plans (comme deux faces adjacentes d'un polyèdre ) est appelé dièdre. Il peut être défini comme l'angle aigu entre deux lignes perpendiculaire aux plans.
L'angle entre un plan et une ligne droite d'intersection est égale à quatre-vingt dix degrés moins l'angle entre la ligne d'intersection et la ligne qui passe par le point d'intersection et est perpendiculaire au plan.
Si une ligne droite ligne transversale croise deux lignes parallèles, (suppléant) correspondant angles sur les deux points d'intersection sont congruents; angles adjacents sont complémentaire (ce est-à leurs mesures se ajoutent à π radians ou 180 °).

Une définition formelle

Utilisation des fonctions trigonométriques

Un angle euclidienne est complètement déterminée par le triangle correspondant. En particulier, si $\ Theta$ est un angle euclidien, il est vrai que

$\ Cos \ theta = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}$

$\ Sin \ theta = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}$

pour deux nombres $x$ et $y$ . Donc un angle dans le plan euclidien peut être légitimement donné par deux nombres $x$ et $y$ .

Pour le rapport $\ Frac {y} {x}$ correspondent deux angles dans la gamme géométrique $0 <\ theta <2 \ pi$ Car

$\ Frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} = \ frac {\ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} = \ frac {y} {x} = \ frac {-y} {- x} = \ frac {\ sin (\ theta + \ pi)} {\ cos (\ theta + \ pi )}.$

Utilisation de rotations

Supposons que nous ayons deux vecteurs unitaires $\ Vec {u}$ et $\ Vec {v}$ dans le plan euclidien $\ Mathbb {R} ^ 2$ . Alors il existe un positif isométrie (une rotation), et un seul, à partir de $\ Mathbb {R} ^ 2$ à $\ Mathbb {R} ^ 2$ que les cartes $u$ sur $v$ . Soit r une telle rotation. Ensuite, la relation $\ Vec {a} \ mathcal {R} \ vec {b}$ définie par $\ Vec {b} = r (\ vec {a})$ est une relation d'équivalence et de l'angle de la rotation que nous appelons R, le classe d'équivalence $\ Mathbb {T} / \ mathcal {R}$ Où $\ Mathbb {T}$ désigne le cercle unité du $\ Mathbb {R} ^ 2$ . L'angle entre les deux vecteurs sera simplement l'angle de la rotation qui fait correspondre une sur l'autre. Nous ne avons aucun moyen numérique de déterminer un angle encore. Pour ce faire, nous choisissons le vecteur $(1,0)$ , Alors pour tout point M $\ Mathbb {T}$ à la distance $\ Theta$ à partir de $(1,0)$ (Sur le cercle), laissez- $\ Vec {u} = \ {OM} overrightarrow$ . Si nous appelons $r_ \ theta$ la rotation qui transforme $(1,0)$ en $\ Vec {u}$ , Puis $\ Left [r_ \ theta \ right] \ mapsto \ theta$ est une bijection, ce qui signifie que nous pouvons identifier ne importe quel angle avec un nombre entre 0 et $2 \ pi$ .

Angles entre les courbes

L'angle entre les deux courbes est défini comme l'angle entre les tangentes A et B à P

L'angle entre une ligne et une courbe (angle mixte) ou entre deux courbes se croisent (angle curviligne) est défini comme étant l'angle entre les tangentes au point d'intersection. Divers noms (maintenant rarement, voire jamais, utilisée) ont été donnés à des cas particuliers: - amphicyrtic (Gr ἀμφί, des deux côtés, κυρτόσ, convexes.) Ou cissoidal (Gr κισσόσ, de lierre.), Biconvexes; xystroidal ou sistroidal (Gr . ξυστρίσ, un outil pour gratter), concave-convexe;. amphicoelic (Gr κοίλη, un creux) ou lunularis Angulus, biconcave.

Le produit scalaire et la généralisation

Dans le plan euclidien , l'angle θ entre deux vecteurs u et v est liée à leur dot produits et leurs longueurs par la formule

$\ Mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = \ cos (\ theta) \ \ | \ mathbf {u} \ | \ \ | \ mathbf {v} \ |.$

Ceci permet de définir des angles l'une quelconque réel espace de produit intérieur, remplacement du produit euclidienne dot · par le Espace de Hilbert produit scalaire <·, ·>.

Angles de la géométrie de Riemann

En La géométrie de Riemann, le tenseur métrique est utilisée pour définir l'angle entre les deux tangentes . Où u et v sont des vecteurs tangents et g _ij sont les composantes du tenseur métrique G,

$\ Cos \ theta = \ frac {g_ {} ij U ^ iV ^ j} {\ sqrt {\ left | g_ {} ij U ^ iU ^ j \ right | \ left | g_ {} ij V ^ iV ^ j \ droit |}}.$

Angles en géographie et l'astronomie

Dans la géographie nous spécifions l'emplacement de tout point de la Terre à l'aide d'un Système de coordonnées géographiques. Ce système spécifie la latitude et la longitude de l'endroit, en termes d'angles sous-tendus au centre de la Terre, à l'aide du équateur et (habituellement) le Méridien de Greenwich comme références.

En astronomie , nous spécifions de même un point sur la donnée sphère céleste utilisant ne importe quel de plusieurs Astronomique systèmes de coordonnées, où les références variables selon le système particulier.

Les astronomes peuvent également mesurer la séparation angulaire de deux étoiles en imaginant deux lignes à travers le centre de la Terre , chaque intersection un des étoiles. L'angle entre ces lignes peut être mesurée, et la séparation angulaire entre les deux étoiles.

Les astronomes mesurent également la la taille apparente des objets. Par exemple, la pleine lune a une mesure angulaire d'environ 0,5 °, vus de la Terre. On pourrait dire, "La Lune sous-tend un angle d'un demi-degré." Le formule aux petits angles peut être utilisée pour convertir une telle mesure angulaire dans un rapport distance / grandeur.

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