Éléments d'Euclide

Le frontispice de la première version de Sir Henry Billingsley anglaise de Eléments d'Euclide, 1570

Éléments d'Euclide ( grec : Στοιχεῖα) est une mathématique et géométrique traité composé de 13 livres écrit par le Grecque mathématicien Euclide dans Alexandria circa 300 BC. Il comprend une collection de définitions, de postulats ( axiomes), propositions ( théorèmes et constructions ), et les preuves mathématiques des propositions. Les treize livres couvrent la géométrie euclidienne et l'ancienne version grecque de élémentaire théorie des nombres . À l'exception de Autolycus 'sur la sphère animée, l'Elements est un des plus anciens traités de mathématiques grecs existants et il est le plus ancien traitement axiomatique déductive existante de mathématiques . Il se est avéré déterminant dans le développement de la logique et moderne la science .

Éléments d'Euclide est le manuel le plus réussi et le plus influent jamais écrit. Étant d'abord régler dans le type de Venise en 1482, il est l'un des tout premiers travaux mathématiques à imprimer après l'invention de la imprimerie et est le deuxième seulement à la Bible dans le nombre d'éditions publiées, avec le nombre atteint plus de mille. Il a été utilisé comme texte de base sur la géométrie dans le monde occidental pendant environ 2000 années. Pendant des siècles, lorsque la quadrivium a été inclus dans le programme d'études de tous les étudiants de l'université, la connaissance d'au moins une partie des éléments d'Euclide a été nécessaire de tous les élèves. Non jusqu'à ce que le 20ème siècle, époque à laquelle son contenu a été universellement enseigné dans les livres scolaires, ne cessent d'être considérés comme quelque chose de tous les gens instruits avaient lu.

Histoire

Le frontispice d'un Adélard de Bath traduction latine des éléments, c d'Euclide. 1309-1316; la traduction latine plus ancien des éléments est un travail du 12ème siècle par Adelard, ce qui se traduit au latin de l'arabe.

Euclide était Mathématicien grec qui a écrit Elements à Alexandrie au cours de la Période hellénistique (environ 300 avant JC). Les spécialistes croient que les éléments est en grande partie une collection de théorèmes prouvés par d'autres mathématiciens ainsi que contenant des travaux originaux. Proclus, un mathématicien grec qui vivait plusieurs siècles après Euclide, écrit dans son commentaire des éléments: "Euclide, qui a mis ensemble les éléments, la collecte de beaucoup de Les théorèmes d'Eudoxe, perfectionner beaucoup de Théétète ', et aussi apporter à la démonstration irréfragable les choses qui ne ont été que peu lâche prouvé par ses prédécesseurs ".

Bien connu, par exemple, Cicéron, il ne ya aucune trace existante du texte ayant été traduit en latin avant Boèce dans le cinquième ou sixième siècle. Les Arabes ont reçu les éléments de la Byzantins en 760 environ; cette version, par un élève d'Euclide appelé Proclo, a été traduit en arabe sous Harun al Rashid vers 800 AD. La première édition est apparu dans 1482 (basé sur Giovanni Campano de 1260 édition), et depuis lors il a été traduit en plusieurs langues et publié dans environ un millier éditions différentes. En 1570, John Dee a fourni une très respecté "mathématique Préface", avec beaucoup de notes et du matériel supplémentaire, à la première édition anglaise par Henry Billingsley.

Des exemplaires du texte grec existent encore, dont certains peuvent être trouvés dans le Bibliothèque du Vatican et de la Bodleian Library à Oxford. Les manuscrits disponibles sont de qualité variable, et toujours incomplète. Par une analyse minutieuse des traductions et originaux, des hypothèses ont été élaborées sur le contenu du texte original (dont des copies ne sont plus disponibles).

Les textes anciens qui se réfèrent à des éléments lui-même et à d'autres théories mathématiques qui étaient en cours au moment où il a été écrit sont également importants dans ce processus. Ces analyses sont effectuées par JL Heiberg et Sir Thomas Heath dans leurs éditions du texte.

Aussi sont d'une importance du scolies ou annotations au texte. Ces ajouts, qui se distinguent souvent du texte principal (selon le manuscrit), accumulés au fil du temps que les opinions varient sur ce qui était digne d'explication ou de l'élucidation. Certaines d'entre elles sont utiles et ajouter le texte, mais beaucoup ne sont pas.

Un texte difficile

Bien que l'on considère maintenant les éléments à un texte sur la géométrie élémentaire, ce ne était pas toujours le cas. Il est dit que le roi Ptolémée a demandé une manière géométrie qui était plus courte que les éléments. Euclid a répondu que "il n'y a pas voie royale à la géométrie ». Plus récemment, Sir Thomas Heath a écrit, dans l'introduction à la bibliothèque Euclid Introduction l'Everyman 1932

"La simple vérité est qu'il n'a pas été écrit pour les écoliers ou écolières, mais pour l'homme adulte qui aurait la connaissance et le jugement nécessaires pour apprécier les questions très controversées qui doivent être prises avec toute tentative de définir l'essentiel de euclidienne en tant que géométrie strictement système logique ... ".

Le premier passage difficile du livre I est référée comme la pont aux ânes, qui est latin pour "Pont de Asses" (traditionnellement, il est difficile d'obtenir ânes de traverser un pont).

Aperçu des éléments

Une preuve de Eléments d'Euclide que, étant donné un segment de droite, un triangle équilatéral existe qui comprend le segment comme l'un de ses côtés. La preuve en est par construction: un triangle équilatéral ΑΒΓ est faite en dessinant des cercles et Δ Ε centrés sur les points Α et Β, et en prenant une intersection des cercles comme le troisième sommet du triangle.

The Elements est toujours considéré comme un chef-d'œuvre dans l'application de la logique de mathématiques . Dans le contexte historique, il se est avéré très influent dans de nombreux domaines de la science . Les scientifiques Nicolas Copernic , Kepler , Galilée , et Sir Isaac Newton ont tous été influencés par les éléments, et ont appliqué leurs connaissances de celui-ci à leur travail. Les mathématiciens et les philosophes, comme Bertrand Russell , Alfred North Whitehead, et Baruch Spinoza , ont tenté de créer leurs propres "Elements" fondamentaux pour leurs disciplines respectives, en adoptant les structures déductives axiomatisée que le travail d'Euclide introduit.

Le succès des éléments est principalement attribuable à sa présentation logique de la plupart des connaissances mathématiques disponibles à Euclide. Une grande partie de la matière d'origine ne est pas lui, bien que la plupart des preuves sont les siennes. Cependant, le développement systématique d'Euclide de son sujet, à partir d'un petit ensemble d'axiomes aux résultats profondes, et la cohérence de sa démarche à travers des éléments, a encouragé son utilisation comme un manuel pour environ 2000 années. Les éléments influe encore des livres de géométrie modernes. En outre, son approche axiomatique logique et démonstrations rigoureuses demeurent la pierre angulaire des mathématiques.

Bien que des éléments est principalement un travail géométrique, il inclut également des résultats qui aujourd'hui serait classé comme la théorie des nombres . Euclid a probablement choisi pour décrire les résultats en théorie des nombres en termes de géométrie, car il ne pouvait pas développer une approche constructible à l'arithmétique. Une construction utilisé dans l'une des épreuves d'Euclide requis une preuve qu'il est effectivement possible. Cela évite les problèmes rencontrés avec les Pythagoriciens irrationnels, puisque leurs preuves fallacieuses tenus habituellement un énoncé tel que "Trouver la plus grande mesure commune de ..."

Premières principes

Réserver une d'Euclide commence avec 23 définitions - telles que le point, la ligne , et surface - suivie par cinq postulats et cinq «notions communes» (qui sont tous deux appelé aujourd'hui axiomes). Ce sont le fondement de tout ce qui suit.

Postule:

1. Un segment de ligne droite peut être tracée en joignant deux points quelconques.
2. Un segment de ligne droite peut être prolongée indéfiniment en ligne droite.
3. Compte tenu d'un segment de droite, un cercle peut être dessiné en utilisant le segment que le rayon et un point d'extrémité de centre.
4. Tous les angles droits sont égaux.
5. Si deux lignes sont tracées qui se coupent tiers de telle sorte que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieur à deux angles droits, alors inévitablement les deux lignes doivent se croiser les uns les autres sur le côté si étendue assez loin.

Notions communes:

1. Des choses qui égalent la même chose sont égales entre elles. ( Propriété euclidienne de l'égalité)
2. Si égaux sont ajoutés à des égaux, alors les sommes sont égales. (Propriété Ajout de l'égalité)
3. Si égaux sont soustraites des égaux, alors les restes sont égaux. (Propriété de soustraction de l'égalité)
4. Les choses qui coïncident avec une autre sont égales les unes aux autres. ( Propriété réflexive de l'égalité)
5. Le tout est plus grand que la partie.

Ces principes de base reflètent l'intérêt d'Euclide, avec ses mathématiciens grecs et hellénistiques contemporains, en géométrie constructive. Les trois premiers postulats décrivent essentiellement les constructions on peut effectuer avec un boussole et un banalisée règle. A marqué règle, utilisé dans la construction de neusis, est interdit dans la construction Euclide, probablement parce que Euclid ne pouvait pas prouver que les lignes confinant rencontrent.

Postulat des parallèles

Si la somme des deux angles intérieurs est égale à 180 °, les lignes sont parallèles et se croisent jamais.

Le dernier des cinq postulats d'Euclide mérite une mention spéciale. La dite postulat des parallèles semblait toujours moins évident que les autres. Euclid se utilisé qu'avec parcimonie dans le reste des éléments. Beaucoup de géomètres soupçonnés qu'il pourrait être prouvable des autres postulats, mais toutes les tentatives de le faire ont échoué.

Dès le milieu du 19e siècle , il a été montré qu'une telle preuve existe, parce que l'on peut construire géométries non-euclidiennes où le postulat des parallèles est fausse, tandis que les autres postulats restent fidèles. Pour cette raison, les mathématiciens disent que le postulat des parallèles est indépendant des autres postulats.

Deux alternatives au postulat des parallèles sont possibles dans des géométries non-euclidiennes: soit un nombre infini de lignes parallèles peut être aspiré à travers un point non sur une ligne droite dans un géométrie hyperbolique (également appelé Géométrie Lobachevskian), ou personne ne peut dans un géométrie elliptique (également appelée La géométrie de Riemann). Que d'autres géométries peuvent être logiquement cohérente était l'une des découvertes les plus importantes en mathématiques, avec de vastes implications pour la science et la philosophie. En effet, Albert Einstein théorie »de la relativité générale montre que l'espace réel dans lequel nous vivons est non-euclidienne.

Contenu des livres

Un fragment des éléments d'Euclide trouvé à Oxyrhynchus , qui est daté du Circa 100 AD. Le schéma accompagne Proposition 5 du Livre II des éléments.

Livres 1 à 4 accord avec la géométrie plane:

• Livre 1 contient les propositions de base de la géométrie: le théorème de Pythagore (Proposition 47), l'égalité des angles et des zones , le parallélisme, la somme des angles d'un triangle, et les trois cas dans lesquels triangles sont «égaux» (avoir la même aire ).
• Book 2 est communément appelé le «livre de l'algèbre géométrique," parce que le matériel qu'il contient peut facilement être interprété en termes de l'algèbre .
• Réserver 3 offres avec des cercles et leurs propriétés: angles inscrits, tangentes , la puissance d'un point.
• Réserver 4 concerne l'inscription et entourant triangles et polygones réguliers.

Livres 5 à 10 introduisent ratios et proportions:

• Réserver 5 est un traité sur les proportions de magnitudes.
• Réservez 6 se applique à la géométrie des proportions: Thales théorème, des chiffres similaires.
• Réservez 7 traite strictement théorie élémentaire numéro: divisibilité , nombres premiers , plus grand commun diviseur , moins commun multiple.
• Livre 8 traite proportions en théorie des nombres et séquences géométriques.
• Réserver 9 applique les résultats des deux livres précédents: l'infinité de nombres premiers, la somme d'un série géométrique, nombres parfaits .
• Réservez 10 tentatives de classification incommensurables (en langage moderne, irrationnelle ) grandeurs en utilisant le méthode de l'épuisement, un précurseur de l'intégration .

Livres 11 à 13 traitent de géométrie spatiale:

• Réserver 11 généralise les résultats de Livres 1-6 à l'espace: la perpendicularité, parallélisme, les volumes de parallélépipèdes.
• Réserver 12 calcule surfaces et des volumes en utilisant la méthode de l'épuisement: cônes, pyramides, cylindres, et la sphère .
• Réserver 13 généralise livre 4 à l'espace: section d'or , les cinq réguliers solides platoniciens inscrits dans une sphère.

Critique

Malgré son acceptation et son succès universel, des éléments a été critiquée comme ayant des preuves et des définitions insuffisantes. Par exemple, dans le premier livre de construction 1, Euclide a utilisé une prémisse qui a été postulé ni ni prouvé: que deux cercles de centres à la distance de leur rayon se croisent en deux points. Plus tard, dans la quatrième construction, il a utilisé le mouvement des triangles de prouver que si deux côtés et leurs angles sont égaux, ils sont congruents; Toutefois, il n'a pas postuler ou même définir le mouvement.

Au 19ème siècle, géométries non-euclidiennes attiré l'attention des mathématiciens contemporains. Mathématiciens de premier plan, y compris Richard Dedekind et David Hilbert , tenté de reformuler les axiomes des éléments, par exemple en ajoutant un axiome de continuité et un axiome de congruence, de faire la géométrie euclidienne plus complète.

Mathématicien et historien WW Rouse Ballon envoyé les critiques en perspective, remarquant que "le fait que depuis deux mille ans [les éléments] était l'habituel texte livre sur le sujet soulève une forte présomption que ce ne est pas impropre à cette fin."

Apocryphes

Il ne était pas rare dans les temps anciens à attribuer à des auteurs célèbres œuvres qui ne étaient pas écrits par eux. Ce est par ces moyens que les apocryphes livres XIV et XV de les éléments étaient parfois inclus dans la collection. Le parasite livre XIV a probablement été écrit par Hypsicles sur la base d'un traité par Apollonius. Le livre continue la comparaison d'Euclide des solides réguliers inscrits dans les sphères, avec le principal résultat étant que le rapport des surfaces de la dodécaèdre et icosaèdre inscrit dans la même sphère est le même que le rapport de leurs volumes, le rapport étant .

Le parasite livre XV a probablement été écrit, au moins en partie, par Isidore de Milet. Ce livre inférieure couvre des sujets comme compter le nombre d'arêtes et angles solides dans les solides réguliers, et de trouver la mesure des angles dièdres de visages qui répondent à un bord.

Editions

L' italienne Jésuite Matteo Ricci (à gauche) et le Mathématicien chinois Xu Guangqi (à droite) a publié le chinois édition des Éléments d'Euclide (幾何原本) en 1607.

• Années 1460, Regiomontanus (incomplète)
• 1533 édition princeps par Simon Grynäus
• 1572, Commandinus
• 1574, Christoph Clavius

Traductions

• 1505, Zamberti (latin)
• 1543, Venturino Ruffinelli (italien)
• 1555, Johann Scheubel (allemand)
• 1562, Jacob Kündig (allemand)
• 1564, Pierre Forcadel de Béziers (Français)
• 1570, John Day (anglais)
• 1576, Rodrigo de Zamorano (espagnol)
• 1594, Typografia Medicea (édition de la traduction en arabe de Nasir al-Din al-Tusi)
• 1607, Matteo Ricci, Xu Guangqi (chinois)
• 1660, Isaac Barrow (anglais)
• Présent, Irineu Bicudo (portugais) (travaux en cours)

Actuellement en version imprimée

"Eléments d'Euclide - Tous les treize livres en un seul volume" Green Lion Press. ISBN 1-888009-18-7 Basé sur la traduction de Heath.