Teoria dos nós

O nó de trevo, o mais simples não- nó trivial.

A representação 3-D de um nó de trevo.

Teoria dos nós é a matemática ramo da topografia que estudos nós matemáticos, que são definidas como embeddings de um círculo em 3-dimensional espaço euclidiano , ^R3. Este é basicamente equivalente a uma convencional cadeia atado com as extremidades unidas em conjunto para evitar que se torne desfeita. Dois nós matemáticas são equivalentes se uma pode ser transformada na outra por meio de uma deformação de R ³ sobre si mesma (conhecido como um isotopia ambiente); essas transformações correspondem a manipulações de uma corda atada que não envolvem o corte da corda ou passando o fio por si só.

Knots pode ser descrita em várias decisões. Dado um método da razão, no entanto, pode haver mais de uma descrição que representa o mesmo nó. Por exemplo, um método comum de descrever um nó é um diagrama de planar. Mas qualquer dado nó pode ser desenhada de várias maneiras diferentes, usando um diagrama de planar. Portanto, um problema fundamental na teoria dos nós é determinar quando duas descrições representam o mesmo nó. Uma forma de nós próprios constitui usando um nó invariante, uma "quantidade" que permanece a mesma, mesmo com diferentes descrições de um nó.

O conceito de um nó foi estendido para dimensões mais elevadas, considerando n esferas dimensionais em m-dimensional espaço euclidiano. Este foi investigada mais ativamente no período 1960-1980, quando foram feitas uma série de avanços. Nos últimos anos, fenômenos de baixa dimensionalidade têm recebido o maior interesse.

Pesquisa em teoria dos nós começou com a criação de tabelas de nó eo apuramento sistemático de nós. Enquanto apuramento continua a ser uma tarefa importante, os pesquisadores de hoje têm uma grande variedade de origens e objetivos. Teoria dos nós clássica, iniciada pelo Max Dehn, JW Alexander, e outros, está principalmente preocupado com a grupo nó e invariantes de teoria da homologia tal como o Alexander polinomial.

A descoberta do Polinomial por Jones Vaughan Jones em 1984, e as contribuições posteriores de Edward Witten, Maxim Kontsevich, e outros, revelaram conexões profundas entre teoria dos nós e métodos matemáticos em mecânica estatística e teoria quântica de campos . Uma infinidade de invariantes nó foram inventadas desde então, utilizando ferramentas sofisticadas, tais como grupos quânticos e Floer homologia.

Nos últimos 30 anos, a teoria dos nós também tornou-se uma ferramenta em matemática aplicada. Químicos e biólogos usam teoria dos nós de compreender, por exemplo, quiralidade de moléculas e as acções de enzimas no ADN .

Um nó mais complicado

História

Knots foram estudados por Carl Friedrich Gauss , que desenvolveu o Gauss ligando integrante para o cálculo da ligando número de dois nós. Seu aluno Johann Benedict Listing, após os quais Nó da lista é chamado, promoveu seu estudo. A, estímulo significativo no início teoria dos nós iria chegar mais tarde com Sir William Thomson (Lord Kelvin) e sua teoria de átomos vortex. (Sossinsky 2002, p. 1-3)

Nós triviais

Em 1867, depois de observar escocês físico As experiências de Peter Tait envolvendo anéis de fumaça, Thomson veio à idéia de que os átomos eram nós de roda vórtices no Éter . Elementos químicos corresponderia, portanto, para nós e links. Os experimentos de Tait foram inspirados por um artigo de Helmholtz de em vortex-rings em fluidos incompressíveis. Thomson e Tait acredita que a compreensão ea classificação de todos nós possíveis explicaria por átomos absorvem e emitem luz em apenas o discreto comprimentos de onda que eles fazem. Por exemplo, Thomson pensei que o sódio pode ser a Hopf vincular devido a suas duas linhas de espectros. (Sossinsky 2002, p. 3-10)

Tait, posteriormente, começou a listar nós únicas na crença de que ele estava criando uma tabela de elementos. Ele formulou o que hoje é conhecido como o Tait conjecturas sobre nós alternada. (As conjecturas foram finalmente resolvido na década de 1990). Tabelas nó de Tait foram posteriormente melhorado por CN pequeno e TP Kirkman. (Sossinsky 2002, p. 6)

James Clerk Maxwell , um colega e amigo de Thomson e Tait de, também desenvolveu um forte interesse em nós. Maxwell estudou a obra de Listagem em nós. Ele re-interpretado Gauss ligando integrante em termos da teoria eletromagnética. Na sua formulação, a integral representou o trabalho realizado por uma partícula carregada em movimento ao longo de um componente da ligação sob a influência do campo magnético gerado por uma corrente eléctrica ao longo do outro componente. Maxwell também continuou o estudo dos anéis de fumaça, considerando três anéis que interagem.

Quando o éter luminoso não foi detectado no Experiência de Michelson-Morley, teoria vórtice se tornou completamente obsoleta, e teoria dos nós deixou de ser de grande interesse científico. A física moderna demonstra que os comprimentos de onda discretos dependem níveis de energia quântica.

Seguindo o desenvolvimento da topologia no início do século 20 encabeçada por Henri Poincaré, topologists como Max Dehn, JW Alexander, e Kurt Reidemeister, investigado nós. Fora deste surgiu o Reidemeister lances eo Alexander polinomial. (Sossinsky 2002, p. 15-45) Dehn também desenvolveu Cirurgia Dehn, que nós relacionada com a teoria geral de 3-variedades, e formulou a Problemas de Dehn em teoria dos grupos , tais como a problema da palavra. Os primeiros pioneiros na primeira metade do século 20 incluem Ralph Fox, que popularizou o assunto. Neste período inicial, teoria dos nós consistia principalmente de estudo sobre a grupo nó e invariantes homológicas do complemento nó.

Algumas grandes descobertas no final do século 20 reviveu muito teoria dos nós. O primeiro era Hiperbolização teorema de Thurston que introduziu a teoria da hiperbólicas 3-variedades em teoria dos nós e fez de primordial importância. O trabalho de Thurston também levou, depois de muita expansão por outros, para o uso efetivo de ferramentas de teoria da representação e geometria algébrica. Resultados importantes se seguiram, incluindo o Gordon-Luecke teorema, que mostrou que os nós foram determinados (até espelho de reflexão) por seus complementos, e o Smith conjecturas.

O interesse na teoria dos nós da comunidade matemática geral cresceu significativamente após A descoberta de Vaughan Jones Polinomial Jones. Isto levou a outros polinómios nó como o polinomial suporte, Polinomial HOMFLY, e Kauffman polinomial. Jones foi condecorado com a mais alta honra na matemática, o Campos medalha, em 1990, para este trabalho. (Sossinsky 2002, p. 71-89) Em 1988, Edward Witten propôs um novo quadro para o polinômio de Jones, utilizando idéias existentes de física matemática , tais como Integrais de caminho de Feynman, e introdução de novos conceitos como teoria quântica topológica campo (Witten 1989). Witten também recebeu a medalha Fields, em 1990, em parte para este trabalho. A descrição de Witten do polinômio Jones implícita invariantes relacionados para 3-variedades. Abordagens simultâneas, mas diferentes, por outros matemáticos resultou na Invariantes Witten-Reshetikhin-Turaev e vários chamados " invariantes quânticos ", que parecem ser a versão matematicamente rigorosa de invariantes de Witten (Turaev 1994).

No início de 1990, invariantes nó que englobam o polinômio Jones e suas generalizações, o chamado invariantes tipo finito, foram descobertos por Vassiliev e Goussarov. Estes invariantes, inicialmente descrito usando "clássicos" meios topológicos, foram mostradas por 1.994 Campos Medalhado Maxim Kontsevich resultar de integração , utilizando o Kontsevich integral, de certas estruturas algébricas (Kontsevich 1993, Natan Bar-1995).

Estas descobertas foram seguidas pela descoberta de Khovanov homologia e nó Floer homologia, que generalizar muito os polinômios Jones e Alexander. Essas teorias de homologia ter contribuído para uma maior integração da teoria dos nós.

Nas últimas décadas do século 20, cientistas e matemáticos começaram a encontrar aplicações da teoria dos nós a problemas em biologia e química . Teoria do nó pode ser utilizado para determinar se uma molécula é quiral (tem um "lateralidade") ou não. Compostos químicos de lateralidade diferente pode ter propriedades diferentes drasticamente, talidomida ser um exemplo notável deste. Mais geralmente, nó métodos teóricos foram utilizados no estudo topoisomers, topologicamente diferentes arranjos de a mesma fórmula química. A teoria estreitamente relacionado de emaranhados foram efetivamente utilizados no estudo da ação de certas enzimas no DNA. (Flapan 2000)

Knot equivalência

O unknot, e um nó equivalente a ela.

Um nó é criado por começando com um um- segmento de linha dimensional, enrolando-o em torno de si arbitrariamente, e, em seguida, fundindo as suas duas extremidades livres em conjunto para formar um circuito fechado. Quando topologists matemáticos consideram nós e outras complicações, tais como ligações e tranças, elas descrevem a forma como o nó é colocado no espaço em torno dele, a chamada espaço ambiente. Se o nó pode ser movido sem problemas, sem cortar ou passando através de um outro segmento, até que ele coincida com outro nó, os dois nós são consideradas equivalentes. A idéia de nó equivalência é dar uma definição precisa de quando dois mergulhos devem ser considerados o mesmo.

É mais difícil determinar se nós complexos, tais como este são equivalentes ao unknot.

O problema básico da teoria do nó, o problema de reconhecimento, pode então ser indicado:. Dada dois nós, determinar se eles são equivalentes ou não Algoritmos existem para resolver este problema, com a primeira dada pela Wolfgang Haken. No entanto, estes algoritmos usam muito muitos passos, e uma questão importante na teoria é entender o quão difícil esse problema realmente é (Hass 1997). O caso especial de reconhecimento da unknot, o chamado desfazendo problema, é de particular interesse.

Diagramas Knot

Uma maneira útil de visualizar e manipular nós é projetar o nó em um plano-pensar o nó lançando uma sombra na parede. Uma pequena perturbação na escolha de projecção vai garantir que seja um-para-um, exceto nos pontos de duplas, chamadas cruzamentos, onde a "sombra" do nó si cruza uma vez transversalmente (Rolfsen 1976). Em cada passagem que deve indicar que a secção é "sobre" e que está "sob", de modo a ser capaz de recriar o nó inicial. Isso geralmente é feito através da criação de uma ruptura na cadeia vai embaixo.

Movimentos de Reidemeister

Em 1927, trabalhando com esta forma de diagrama de nós, JW Alexander e GB Briggs, e de forma independente Kurt Reidemeister, demonstraram que dois diagramas nó que pertencem ao mesmo nó pode ser relacionado por uma sequência de três tipos de movimentos no diagrama, mostrado abaixo. Estas operações, agora chamado de Reidemeister movimentos, são:

1. Torcer e destorcer em qualquer direção.
2. Mover uma vertente completamente em detrimento de outro.
3. Mover uma vertente completamente sobre ou sob um cruzamento.

Movimentos de Reidemeister

Tipo I	Tipo II
Tipo III

Invariantes Knot

Um nó invariante é uma "quantidade", que é o mesmo para nós equivalentes (Adams 2001, 1997 Lickorish, Rolfsen 1976). Uma invariante pode tomar o mesmo valor em dois nós diferentes, por isso, por si só pode ser incapaz de distinguir todos nós. Uma invariante é elementar tricolorability.

"Clássico" invariantes nó incluir o grupo nó, que é a grupo fundamental da complemento nó, e o Alexander polinomial, que pode ser calculado a partir da Alexander invariante, construído a partir de um módulo a tampa cíclico infinito do complemento nó (Lickorish 1997, Rolfsen 1976). No final do século 20, invariantes, tais como "quantum" polinômios nó e invariantes hiperbólicas foram descobertos. Estes invariantes acima mencionados são apenas a ponta do iceberg de teoria dos nós moderna.

Polinômios Knot

Um polinômio nó é uma invariante nó que é um polinômio . Exemplos bem conhecidos incluem o E Jones Alexander polinômios. Uma variante do Alexander polinomial, o Alexander-Conway polinomial, é um polinômio na variável z com inteiros coeficientes (Lickorish, 1997).

Suponhamos que é dado um diagrama de ligação que é orientada, ou seja, todos os componentes da ligação tem uma direcção preferida indicado por uma seta. Também suponha são diagramas de ligação orientados resultantes da mudança do diagrama em um cruzamento específico do diagrama, como indicado na figura:

Então o polinômio Alexander-Conway, C (z), é recursivamente definida de acordo com as regras:

• C (O) = 1 (onde S é qualquer diagrama do desatar)
• 

A segunda regra é que é muitas vezes referido como um relação meada. Para verificar se estas regras dar um invariante, deve-se determinar que o polinômio não muda sob os três movimentos de Reidemeister. Muitos polinómios nó importantes podem ser definidos desta maneira.

O que se segue é um exemplo de um cálculo típico usando uma relação meada. Ele calcula o polinômio Alexander-Conway da nó de trevo. As manchas amarelas indicam onde se aplicou a relação.

C ( ) = C ( ) + Z C ( )

dá a unknot eo Ligação Hopf. Aplicando a relação com a ligação de Hopf onde indicado,

C ( ) = C ( ) + Z C ( )

dá um link para um deformável com 0 cruzamentos (na verdade é o desvincular de dois componentes) e um desatar. O unlink leva um pouco de malandragem:

C ( ) = C ( ) + Z C ( )

o que implica que C (desligar de dois componentes) = 0, uma vez que os dois primeiros são polinómios do alisando e, portanto, igual.

Colocando tudo isso junto vai mostrar:

C (trevo) = 1 + z (0 + z) = 1 + z ²

Desde o polinômio Alexander-Conway é uma invariante nó, isso mostra que o trevo não é equivalente ao desatar. Então, o trevo é realmente "atado".

Na verdade, existem dois nós trevo, chamado a direita e trefoils canhoto, que são imagens de espelho um do outro (tomar um diagrama do trevo dado acima e mudar a cada passagem para o outro lado para obter a imagem de espelho). Estes não são equivalentes entre si! Isto foi demonstrado pela Max Dehn, antes da invenção dos polinômios nó, utilizando métodos teóricos do grupo (Dehn 1914). Mas o polinómio Alexander-Conway de cada tipo de trifólio será o mesmo, como pode ser visto, indo através do cálculo acima da imagem no espelho. O polinômio Jones pode de fato distinguir entre os nós trevo esquerda e destros (Lickorish, 1997).

Invariantes hiperbólicas

William Thurston provou muitos nós são nós hiperbólicas, o que significa que o complemento nó, ou seja, os pontos de 3-espaço não sobre o nó, admitir uma estrutura geométrica, em particular a de geometria hiperbólica. A estrutura hiperbólica depende apenas do nó de modo que qualquer quantidade calculada a partir da estrutura hiperbólica é, em seguida, um nó invariante. (Adams, 2001)

Geometria nos permite visualizar o que o interior de um nó ou link complemento parece imaginando como raios de luz viajando ao longo das geodésicas da geometria. Um exemplo é proporcionado pela imagem do complemento do Anéis de Borromeu. O habitante desta ligação complemento está visualizando o espaço de perto o componente vermelho. As bolas na imagem são vistas de horoball bairros do link. Engrossando o link de uma forma padrão, obtemos o que são chamados bairros horoball dos componentes de ligação. Mesmo que o limite de uma bairros é um toro, quando visto por dentro do complemento link, ele se parece com uma esfera, chamado de horoball. Cada componente link mostra-se como um número infinito de horoballs (de uma cor), pois há um número infinito de raios de luz a partir do observador para o componente de ligação. O paralelogramo fundamental (que é indicado na imagem), azulejos vertical e horizontalmente.

O padrão de horoballs é em si uma invariante útil. Outros invariantes hiperbólicas incluem a forma da paralleogram fundamentais, comprimento de geodésica mais curto, e volume. Nó e link de apuramento esforços modernos têm utilizado estas invariantes de forma eficaz. Computadores rápidos e métodos inteligentes de obter essas invariantes fazer o cálculo destes invariantes, na prática, uma tarefa simples. (Adams, Hildebrand, e Weeks, 1991)

Dimensões superiores

Em quatro dimensões, qualquer circuito fechado de cadeia unidimensional é equivalente a uma unknot. Nós podemos atingir a deformação necessária em duas etapas. O primeiro passo é a "empurrar" para o circuito de um subespaço tridimensional, o que é sempre possível, embora técnica para explicar. O segundo passo é mudar cruzamentos. Suponha que um fio está atrás de outro como visto de um ponto escolhido. Levantá-lo para a quarta dimensão, então não há nenhum obstáculo (a cadeia da frente não tendo componente lá); em seguida, deslize-o para a frente, e soltá-lo de volta, agora à frente. Uma analogia para o plano estaria levantando-se uma cadeia de fora da superfície.

Uma vez que um nó pode ser considerado topologicamente uma esfera 1-dimensional, o seguinte generalização é de considerar uma esfera bidimensional incorporado numa esfera de quatro dimensões. Tal incorporação é sem nó, se houver um homeomorphism do 4-esfera sobre si própria, tendo a 2-esfera com um padrão "rodada" 2-esfera. Nós suspensos e nós fiados são duas famílias típicos de tais 2-esfera nós.

A técnica matemática denominada "posição geral" implica que, para um dado n -sphere na m -sphere, se m for grande o suficiente (dependendo N), a esfera deverá ser sem nó. Em geral, piecewise-linear esferas n- formar nós só na (n +2) -espaço ( Christopher Zeeman 1963), embora este não é mais um requisito para as esferas suavemente atadas. Na verdade, não são bem atado 4k-1 -spheres em -espaço 6k, por exemplo, há uma atadas sem problemas 3-esfera na esfera de 6 (Haefliger 1962, Levine 1965). Assim, a codimens~ao de um nó suave pode ser arbitrariamente grande quando não fixa a dimensão da esfera atado; no entanto, qualquer -sphere k suave em um -sphere n com 2n-3k-3> 0 é sem nó. A noção de um nó tem outras generalizações em matemática, veja: nó (matemática).

Adicionando nós

Dois nós podem ser adicionados por dois nós de corte e unindo os pares de extremidades. Isto pode ser formalmente definida da seguinte forma (Adams 2001): considerar uma projeção plana de cada nó e supor que estas projecções são disjuntos. Encontre um retângulo no plano onde um par de lados opostos são arcos ao longo de cada nó, enquanto o resto do rectângulo está separado de os nós. Formar um novo nó por exclusão do primeiro par de lados opostos, e adjacente ao outro par de lados opostos. O nó resultante é a soma dos nós originais.

Esta operação é chamada a soma nó, ou, por vezes, a adição ligada ou composição de dois nós. A soma nó é comutativa e associativa . Há também uma decomposição principal para um nó, que permite definir um nó primo ou composto, análogo ao primos e números compostos. O nó de trevo é o mais simples nó principal. Nós dimensões mais elevadas podem ser adicionados por splicing os n-esferas. Enquanto você não pode formar a desatar em três dimensões, adicionando dois nós não triviais, você pode em dimensões mais elevadas, pelo menos quando se considera nós lisas em codimens~ao pelo menos 3.

Nós Tabulating

Tradicionalmente, nós já foram catalogadas em termos de cruzando número. O número de nós não triviais de um determinado número de cruzamentos aumenta rapidamente, tornando tabulação computacionalmente difícil. Mesas nó geralmente incluem apenas sua imagem no espelho nós principais e apenas uma entrada para um nó e (mesmo se eles são diferentes). A sequência do número de nós primos de um dado número de cruzamentos, um aumento de número de cruzamento 16, é de 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988, 46972 , 253293, 1388705 ... (sequência A002863 em OEIS ). Enquanto limites superiores e inferiores exponenciais para esta sequência são conhecidos, não foi provado que esta sequência é estritamente crescente (Adams, 2001).

As primeiras tabelas nó por Tait, Little, e Kirkman usado diagramas nó, embora Tait também usou um precursor para a Notação Dowker. Notações diferentes foram inventados para nós que permitem a tabulação mais eficiente.

As tabelas iniciais tentou listar todos os nós de, no máximo, 10 cruzamentos, e todos nós alternadas de 11 cruzamentos. O desenvolvimento da teoria dos nós devido a Alexander, Reidemeister, Seifert, e outros facilitou a tarefa de verificação e mesas de nós até e incluindo nove cruzamentos foram publicadas por Alexander-Briggs e Reidemeister no final de 1920.

A primeira grande verificação deste trabalho foi feito na década de 1960 por John Horton Conway, que não só desenvolveu uma nova notação, mas também a Alexander-polinomial Conway (Conway 1970, Doll-Hoste 1991). Isto verificou-se a lista de nós de, no máximo, 11 cruzamentos e uma nova lista de links de até 10 cruzamentos. Conway encontrou uma série de omissões, mas apenas uma duplicação nos Tait-mesinhas; no entanto, ele perdeu as duplicatas chamados a Perko par, o que só seria notado em 1974 por Kenneth Perko (Perko 1974). Este erro famoso iria propagar quando Dale Rolfsen acrescentou uma tabela de nó em seu texto influente, baseado no trabalho de Conway.

Notação Alexander-Briggs

Esta é a notação mais tradicional, devido ao papel de 1.927 JW Alexander e G. Briggs e posteriormente prorrogado por Dale Rolfsen em sua mesa nó. A notação simplesmente organiza nós pelo seu número travessia. Um escreve o número de cruzamentos com um subscrito para denotar sua ordem entre todos nós com esse número travessia. Esta ordem é arbitrária e assim não tem nenhum significado especial.

A notação Dowker

Um diagrama de nó com cruzamentos marcado para uma sequência Dowker

A notação Dowker, também chamada a notação Dowker-Thistlethwaite ou código, para um nó é uma sequência finita dos inteiros pares. Os números são gerados seguindo o nó e marcando os cruzamentos com números inteiros consecutivos. Uma vez que cada travessia é visitada duas vezes, isso cria um emparelhamento de inteiros pares com inteiros ímpares. Um sinal disso é dada para indicar uma e undercrossing. Por exemplo, na figura o diagrama de nó tem cruzamentos marcados com os pares (1,6) (3, -12) (5,2) (7,8) (9, -4) e (11, -10). A notação Dowker para esta rotulagem é a seqüência: 6 2 8 -4 -12 -10. Um diagrama de nó tem mais do que uma possível notação Dowker, e há uma ambiguidade bem compreendido quando reconstruir um nó de uma notação Dowker.

Notação Conway

A notação Conway para nós e links, nomeado após John Horton Conway, baseia-se na teoria de emaranhados (Conway 1970). A vantagem desta notação é que ele reflete algumas propriedades do nó ou link.

A notação descreve como construir um diagrama link específico da ligação. Comece com um poliedro de base, um 4-valente gráfico planar conectado sem Digon regiões. Tal poliedro é denotado pela primeira vez pelo número de vértices, em seguida, um número de asteriscos que determinam a posição do poliedro de uma lista de poliedro de base. Por exemplo, 10 ** indica a segunda poliedro vértice 10 na lista de Conway.

Cada vértice tem então uma emaranhado algébrica substituído para ele (cada vértice é orientada para que não haja escolha arbitrária em substituição). Cada tal emaranhado tem uma notação que consiste em números e sinais + ou -.

Um exemplo é 1 * 2 -3 2. O 1 * denota o único poliedro básica 1-vértice. O 2 -3 2 é uma sequência descrevendo a fracção contínua associada a um emaranhado racional. Uma insere esse emaranhado no vértice do poliedro básico 1 *.

Um exemplo mais complicado é 8 * 3.1.2 0.1.1.1.1.1 aqui novamente 8 * refere-se a um poliedro com base 8 vértices. Os períodos de separar a notação para cada emaranhado.

Qualquer link admite tal descrição, e é claro que este é uma notação muito compacto mesmo para número muito grande travessia. Há mais algumas abreviaturas normalmente utilizadas. O último exemplo é escrito geralmente 8 * 3: 2 0, onde nós omitimos os e manteve o número de pontos excetuando os pontos no final. Para um nó algébrico, como no primeiro exemplo, 1 * é muitas vezes omitido.

Papel pioneiro de Conway sobre o assunto relaciona-se a 10-vértice poliedros básico de que ele usa para tabular as ligações, que se tornaram padrão para esses links. Para uma maior listagem de maior poliedros vértice, há opções fora do padrão disponíveis.