Funkcje cyklometryczne

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: poprawić latex, sprawdzić linki do obcojęzycznych wikipedii.
Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) — funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

arcus sinus jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ . W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową) – wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale [-1, 1] (czyli obrazie przedziału $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ przez funkcję sin).
arcus cosinus jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale $[0,π]$ . W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową) – wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale [-1, 1] (czyli obrazie przedziału $[0,π]$ przez funkcję cos).
arcus tangens jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale (-π/2, π/2). W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową) – wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (-∞, +∞) (czyli obrazie przedziału (-π/2, π/2) przez funkcję tg).
arcus cotangens jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale (0, π). W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (-∞, +∞) (czyli obrazie przedziału (0, π) przez funkcję ctg).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

arcsin x = y gdy sin y = x
arccos x = y gdy cos y = x
arctg x = y gdy tg y = x
arcctg x = y gdy ctg y = x

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów nie stawiamy, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest [-1, 1], a przeciwdziedziną [-π/2, π/2]
arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest [-1, 1], a przeciwdziedziną [0, π]
arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest (-∞, +∞), a przeciwdziedziną (-π/2, π/2)
arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest (-∞, +∞), a przeciwdziedziną (0, π)

Funkcje arcus sinus i arcus cosinus są związane zależnością $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ , a arcus tangens i arcus cotangens zależnością $\operatorname{arctg} x+\operatorname{arcctg} x=\frac{\pi}{2}$ .