Função exponencial

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A função exponencial é uma função em matemática . A aplicação desta função de um valor x é escrito como exp (X). De forma equivalente, isto pode ser escrito sob a forma e ^X, em que E é uma constante matemática, o base do logaritmo natural, o que equivale a aproximadamente 2,718281828, e também é conhecido como Euler número 's.

A função exponencial é quase plana (subindo lentamente) para valores negativos de x, sobe rapidamente para valores positivos de x, e é igual a 1 quando x é igual a 0. O seu valor é sempre igual a y inclinação nesse ponto.

Como uma função das reais variáveis X, o gráfico de y = e ^x é sempre positivo (acima do eixo x) e a aumentar (visto da esquerda para a direita). Ele nunca toca o eixo x, embora se aproxima arbitrariamente a ele (assim, o eixo x é um horizontal asymptote para o gráfico). A sua função inversa , o logaritmo natural , ln (x), é definida para todo x positivo. A função exponencial é ocasionalmente referido como o anti-logaritmo . No entanto, esta terminologia parece ter caído em desuso nos últimos tempos.

Às vezes, especialmente nas ciências , o termo função exponencial é mais geralmente usado para funções de forma a ^x Ka, em que um, chamada a base, é qualquer número real positivo não é igual a um. Este artigo irá focar inicialmente a função exponencial com base e, o número de Euler.

Em geral, o variável x pode ser qualquer real ou número complexo , ou mesmo um tipo totalmente diferente de objeto matemático; veja a definição formal abaixo .

Propriedades

Mais simplesmente, funções exponenciais multiplicar a uma taxa constante. Por exemplo, a população de uma cultura bacteriana que duplica a cada 20 minutos pode (approximatively, como este não é realmente um problema contínuo) ser expressa como um exponencial, assim como o valor de um veículo que diminui em 10% por ano.

Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais gerais. A função

$\, \! \, A ^ x = (e ^ {\ ln a}) ^ x = e ^ {x \ ln a}$

definida para todo a> 0, e todos os números reais x, é chamado a função exponencial com base de um. Note-se que esta definição de $\, Um ^ X$ baseia-se na existência previamente estabelecida da função $\, E ^ x$ , Definida para todos os números reais. (Aqui, nós nem formalmente nem conceitualmente esclarecer se essa função existe ou o que expoentes não naturais são supostamente para dizer.)

Note-se que a equação acima é válido para A = E, desde

$\, \! \, E ^ {x \ ln e} = e ^ {x \ cdot 1} = e ^ x.$

Funções exponenciais "traduzir entre adição e multiplicação", como está expresso nos três primeiros e quinto das seguintes leis exponenciais:

$\, \! \, A ^ 0 = 1$

$\, \! \, Um ^ 1 = um$

$\, \! \, A ^ {x + y = a} ^ x ^ y uma$

$\, \! \, A ^ {x} y = \ left (a ^ x \ right) ^ y$

$! \, \ \, {1 \ over a ^ x} = \ left ({1 \ over a} \ right) ^ x = a ^ {- x}$

$\, \! \, A ^ x ^ b x = (a b) ^ x$

Estes são válidos para todos os números reais um positivo e b e tudo real números x e y. Expressões envolvendo frações e raízes muitas vezes pode ser simplificada usando a notação exponencial:

$\, {1 \} durante um a ^ = {- 1}$

e, para qualquer um> 0, b número real, e o inteiro n> 1:

$\, \ Sqrt [n] {a ^ b} = \ left (\ sqrt [n] {a} \ right) ^ b = a ^ {b / n}.$

Derivados e equações diferenciais

A importância das funções exponenciais em matemática e as ciências resulta principalmente de propriedade de seus derivados . Em particular,

$\, {D \ over dx} e ^ x = e ^ x.$

Isto é, e ^x é o seu próprio derivado . Funções da forma $\, Ke x ^$ para constante K são as únicas funções com essa propriedade. (Isso decorre do Picard-Lindelöf teorema, com $\, Y (t) = e ^ t, y (0) = K$ e $\, F (t, y (t)) = y (t)$ .) Outras formas de dizer a mesma coisa incluem:

A inclinação do gráfico em qualquer ponto é a altura da função nesse ponto.
A taxa de aumento da função em que x é igual ao valor da função em x.
A função resolve o equação diferencial $\, Y '= y$ .
exp é um ponto fixo de derivados como funcional

Na verdade, várias equações diferenciais dar origem a funções exponenciais, incluindo o Equação de Schrödinger ea A equação de Laplace, bem como para as equações movimento harmônico simples.

Para funções exponenciais com outras bases:

$\, {D \ over dx} a ^ x = (\ ln a) a ^ x.$

Assim, qualquer função exponencial é um múltiplo constante do seu próprio derivado.

Se a taxa de crescimento ou decadência de uma variável é proporcional ao seu tamanho - como é o caso no crescimento populacional ilimitada (ver Catástrofe malthusiana), compostos continuamente interesse, ou decaimento radioativo - em seguida, a variável pode ser escrito como uma constante vezes uma função exponencial de tempo.

Além disso, para qualquer função diferenciável f (x), encontramos, pela regra da cadeia:

$\, {D \ over dx} e ^ {f (x)} = f '(x) e ^ {f (x)}.$

Definição formal

A função exponencial (em azul), e a soma dos primeiros n termos de uma série de potências do lado esquerdo (a vermelho).

A função exponencial e ^x pode ser definida em uma variedade de formas equivalentes, como um série infinita. Em particular, pode ser definido por uma série de potência :

$e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ n \ over n!} = 1 + x + {x ^ 2 \ over 2!} + {x ^ 3 \ over 3!} + {x ^ 4 \ mais de 4!} + \ cdots$ .

Note-se que esta definição, tem a forma de uma série de Taylor . Usando uma definição alternativa para a função exponencial deverá conduzir ao mesmo resultado quando expandida como uma série de Taylor .

Uma definição menos comum define $e ^ x$ como a solução de $y$ com a equação

$x = \ int_ {1} {dt ^ y \ over t}.$

Valor numérico

Para obter o valor numérico da função exponencial, a série infinita pode ser reescrita como:

$\, E ^ x = {1 \ over 0!} + X \, \ left ({1 \ over 1!} + X \, \ left ({1 \ over 2!} + X \, \ left ({1 \ over 3!} + \ cdots \ right) \ right) \ right)$

$\, = 1 + {x \ over 1} \ left (1 + {x \ over 2} \ left (1 + {x \ over 3} \ left (1 + \ cdots \ right) \ right) \ right)$

Esta expressão irão convergir rapidamente se podemos assegurar que x é inferior a um.

Para garantir isso, podemos usar a seguinte identidade.

$\, E ^ x \,$	$\, = E ^ {+ z f} \,$
	$\, = E ^ z \ times \ left [{1 \ over 0!} + F \, \ left ({1 \ over 1!} + F \, \ left ({1 \ over 2!} + F \, \ left ({1 \ over 3!} + \ cdots \ right) \ right) \ right) \ right]$

Onde $\, Z$ é a parte inteira $\, X$
Onde $\, F$ é a parte fracionária $\, X$
Assim, $\, F$ é sempre menor do que 1 e $\, F$ e $\, Z$ adicionar até $\, X$ .

O valor da constante de e ^Z pode ser calculado multiplicando-se de antemão e com a própria vezes z.

Computação de exp (x) para o real x

Um algoritmo de melhor ainda podem ser encontrados como se segue.

Primeiro, observe que a resposta y = ^x e é geralmente um número de ponto flutuante representada por um mantissa e um expoente m n então y = m 2 ⁿ para algum inteiro n e adequadamente pequena m. Assim, temos:

$\, Y = m \, 2 ^ n = e ^ x.$

Tomando log em ambos os lados das duas últimas nos dá:

$\, \ Ln (y) = \ ln (m) + N \ ln (2) = x.$

Deste modo, obtemos n como o resultado da divisão por X log (2) e encontrar o maior inteiro que não é maior do que este - isto é, o função do assoalho:

$\, N = \ left \ lfloor \ frac {x} {\ ln (2)} \ right \ rfloor.$

Tendo encontrado n podemos então encontrar a parte fracionária u como este:

$\, U = x - n \ ln (2).$

O número u é pequena e no intervalo de 0 ≤ u <ln (2) e por isso, pode utilizar a série anteriormente mencionado para calcular m:

$\, M = e ^ u = 1 + u (1 + u (\ frac {1} {2!} + U (\ frac {1} {3!} + U (....)))).$

Tendo encontrado m e n então podemos produzir y simplesmente combinando os dois em um número de ponto flutuante:

$\, Y = e ^ x = m \, 2 ^ n.$

Frações contínuas para e ^x

Via identidade de Euler:

$\, \ E ^ x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Cdots = 1+ \ cfrac {x} {1- \ cfrac {x} {x + 2- \ cfrac {2x} {x + 3- \ cfrac {3x} {x + 4- \ cfrac {4x} {x + 5- \ cfrac 5x {} {\ ddots}}}}}}$

Técnicas mais avançadas são necessárias para construir a seguinte:

$\, \ e^{2m/n}=1+\cfrac{2m}{(n-m)+\cfrac{m^2}{3n+\cfrac{m^2}{5n+\cfrac{m^2}{7n+\cfrac{m^2}{9n+\cfrac{m^2}{\ddots}}}}}}\,$

Definir m = x e N = 2 rendimentos

$\, \ e^x=1+\cfrac{2x}{(2-x)+\cfrac{x^2}{6+\cfrac{x^2}{10+\cfrac{x^2}{14+\cfrac{x^2}{18+\cfrac{x^2}{\ddots}}}}}}\,$

Computação de $\, Um ^ n$ por número natural (número inteiro positivo) n

Existe uma maneira rápida de calcular $\, Um ^ n$ quando o símbolo n representa um número inteiro positivo. Ele faz uso do facto de que o teste é um número impar tal é muito fácil para um computador e dividindo por 2 também é rápido, simplesmente deslocando todos os bits para a direita.

passo 1, inicializar algumas variáveis
y: = 1, k: = n, F: = a

etapa 2, teste k
se k é 0, vá para a etapa 7

passo 3, (k não é 0 aqui, teste se k é mesmo)
se k é mesmo ir para a etapa 5

passo 4, (k é estranho aqui, multiplicar in)
$\, Y: = y * f$

etapa 5, (dividir por 2 k / ignore restante, divida por turno, também quadrada f)
k: k = deslocamento para a direita por 1 f: = f * f

passo 6, (circular)
volte para o passo 2

etapa 7, (feito, y é um resultado = ⁿ⁾
retornar y

Em C , você pode escrever o algoritmo parecido com isto:

 poder de casal (duplo um, sem assinatura int n) {double y = 1; double f = a; unsigned int k = n; while (k = 0!) {if ((k & 1) = 0!) y = f *; k >> = 1; f * = f; } Retornar y; }
 poder de casal (duplo um, sem assinatura int n) {double y = 1; double f = a; unsigned int k = n; while (k = 0!) {if ((k & 1) = 0!) y = f *; k >> = 1; f * = f; } Retornar y; }

Enquanto uma multiplicação ingênuo de um ^ 100 exigiria 100 iterações de um loop de multiplicação de um loop for, esta apenas 7 vezes (O número 100 é escrito usando 7 bits).

Este algoritmo pode ser facilmente estendido para inteiros assinados por fazer as seguintes etapas antes e depois:

passo 1. Se k é negativo, nega o valor assim que nós começamos um k positivo. n ainda se lembra do valor original.

passo 2. Execute o cálculo acima para $\, Y = a ^ {| k |}$

passo 3. Se n for negativo, inverter o resultado até y: = 1 / y. y é agora o resultado de $\, Um ^ n$ para um número inteiro n.

No plano complexo

Função exponencial no plano complexo. A transição de escuro para cores claras mostram que a magnitude da função exponencial está a aumentar para a direita. As faixas horizontais periódicas indicar que a função exponencial é periódica na parte imaginária de seu argumento.

Tal como no verdadeiro caso, a função exponencial pode ser definida no plano complexo , em várias formas equivalentes. Algumas dessas definições espelhar as fórmulas para a função exponencial de valor real. Especificamente, ainda se pode usar a definição de série de potência, onde o valor real é substituído por um complexo:

$\, \! \, E ^ z = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {z ^ n} {n!}$

Usando esta definição, é fácil mostrar por que ${D \ over dz} e ^ z = e ^ z$ detém no plano complexo.

Outra definição estende a verdadeira função exponencial. Primeiro, afirmamos a propriedade desejada $e ^ {x + iy} = e ^ x e ^ {i y}$ . Para $e ^ x$ usamos a verdadeira função exponencial. Em seguida, proceder através da definição apenas: $e ^ {i} y = cos (y) + i sin (y)$ . Assim, usamos a verdadeira definição, em vez de ignorá-lo.

Quando considerado como uma função definida no plano complexo , a função exponencial retém as propriedades importantes

$\, \! \, E ^ {z + w} = e ^ z e ^ w$

$\, \! \, E ^ 0 = 1$

$\, \! \, E ^ z \ ne 0$

$\, \! \, {D \ over dz} e ^ z = e ^ z$

para todo z e w.

É um função holomorfa que é periódica com período imaginário $\, 2 \ pi i$ e pode ser escrita como

$\, \! \, E ^ {a + bi} = e ^ a (\ cos b + i \ pecado b)$

em que a e b são valores reais. Esta fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas e para o funções hiperbólicas. Assim, vemos que tudo funções elementares, exceto para os polinômios brotar da função exponencial, de uma forma ou de outra.

Veja também A fórmula de Euler.

Estendendo o logaritmo natural de argumentos complexos produz um função multi-valorizados, ln (z). Podemos, então, definir uma exponenciação mais geral:

$\, \! \, Z ^ w = e ^ {w \ ln z}$

para todos os números complexos z e w. Esta é também uma função multi-valorizados. As leis exponenciais acima enunciados permanecer fiel se interpretado corretamente como declarações sobre funções com valores múltiplos.

A função exponencial mapeia qualquer linha no plano complexo de uma espiral logarítmica no plano complexo com o centro no origem. Dois casos especiais pode ser observado: quando a linha original é paralelo ao eixo real, o sprial resultante nunca se fecha sobre si mesma; quando a linha original é paralelo ao eixo imaginário, a espiral resultante é um círculo de raio alguns.

A representação gráfica da função exponencial no plano complexo
z = Re (e ^{x + iy)}
z = Im (e ^{x + iy)}
Z = | e ^{x + iy} |

Computação de exp (z) para um complexo z

Este é bastante simples, dada a fórmula

$\, e ^ {x + yi} = e ^ xe ^ {yi} = e ^ x (\ cos (y) + i \ sin (y)) = e ^ x \ cos (y) + ie ^ x \ pecado (y).$

Observe que o argumento y para as funções trigonométricas é real.

Computação de $\, A ^ b$ em que tanto a como b são complexos

Isto também é simples, dadas as fórmulas:

se a = x + Yi e b = u + VI que pode converter um primeiro para coordenadas polares por encontrar um $\, \ Theta$ e um $\, R$ de tal modo que:

$\, Re ^ {{\ theta} i} = r \ cos \ theta + ir \ sin \ theta = a = x + yi$

$\, X = r \ cos \ theta$ e $\, Y = r \ sin \ theta.$

Assim, $\, X ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2$ ou $\, R = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}$ e $\, \ \ Theta tan = \ frac {y} {x}$ ou $\, \ Teta = \ operatorname {ATAN2} (y, x).$

Agora, temos que:

$\, Um re ^ = {{\ theta} i} = e ^ {\ log (r) + {\ theta} i}$

assim:

$\, A ^ b = (e ^ {\ log (r) + {\ theta} i}) ^ {+ u vi} = e ^ {(\ log (r) + {\ theta} i) (u + vi )}$

O expoente é, assim, um simples multiplicação dos dois valores complexos que produzam um resultado complexo que pode então ser trazido de volta para o formato cartesiano regular pela fórmula:

$\, E ^ {p + qi} = e ^ P (\ cos (q) + i \ sin (q)) = e ^ p \ cos (q) + ie ^ p \ sin (q)$

em que p é a parte real da multiplicação:

$\, P = u \ log (r) - v \ theta$

e q é a parte imaginária da multiplicação:

$\, Q = v \ log (r) + u \ theta.$

Note-se que todos $\, X, y, u, v, r,$ $\, \ Theta$ , $\, P$ e $\, Q$ são todos os valores reais nestes cálculos. O resultado $\, A ^ b$ é assim $\, P + qi$ .

Observe também que uma vez que calcular e uso $\, \ Log (r)$ ao invés de si r você não tem que calcular a raiz quadrada. Em vez disso simplesmente calcular $\, \ Log (r) = \ frac12 \ log (x ^ 2 + y ^ 2)$ . Atente para potencial estouro embora e, possivelmente, reduza o x e y antes de computação $\, X ^ 2 + y ^ 2$ por um poder adequado, de 2 de se $\, X$ e $\, Y$ são tão grandes que você iria transbordar. Se você não corre o risco de estouro negativo, ampliar por um poder adequado de 2 antes de calcular a soma dos quadrados. Em ambos os casos você, em seguida, obter a versão em escala de $\, X$ - Podemos chamá-lo $\, X '$ ea versão em escala de $\, Y$ - Chame- $\, Y '$ e assim que você começa:

$\, X = X'2 ^ s$ e $\, Y = ^ s y'2$

onde $\, 2 ^ s$ é o fator de escala.

Então você começa $\, \ Log (r) = \ frac12 (\ log (x '^ 2 + y' ^ 2) + s)$ onde $\, X '$ e $\, Y '$ são dimensionadas de modo que a soma dos quadrados não vai transbordar ou underflow. Se $\, X$ é muito grande, enquanto $\, Y$ é muito pequeno para que você não pode encontrar um tal fator de escala que você vai transbordar de qualquer maneira e assim a soma é essencialmente igual $\, X ^ 2$ desde y é ignorada e, assim que você começa $\, R = | x |$ neste caso, e $\, \ Log (r) = \ log (| x |)$ . O mesmo acontece no caso quando $\, X$ é muito pequena e $\, Y$ é muito grande. Se ambos são muito grandes ou ambos são muito pequenas pode encontrar um fator de escala, como mencionado anteriormente.

Note-se que esta função é, em geral, multivalued para argumentos complexos. Isto é porque a rotação de um único ponto através de qualquer ângulo, mais de 360 graus, ou $2 \ pi$ radianos, é o mesmo que o ângulo de rotação através de si. Assim $\ Theta$ acima não é único: $\ Theta_k = \ theta + 2 \ pi k$ para qualquer número inteiro $k$ faria bem. A convenção, porém, é que, quando $a ^ b$ é tomado como um valor único, deve ser porque para $k = 0$ , Ou seja. usamos o menor valor possível (em valor absoluto) de teta, que tem uma magnitude de, no máximo, $\ Pi$ .

Matrizes e álgebras de Banach

A definição da função exponencial dada acima pode ser utilizado para todos os textualmente Banach álgebra, e em particular para quadrados matrizes (caso em que a função é chamada a matriz exponencial). Neste caso, temos

$\, \ E ^ {x + y} = e ^ x e y ^ \ mbox {if} xy = yx$

$\, \ E ^ 0 = 1$

$\, \ E ^ x$ é invertível com inversa $\, \ E ^ {- x}$

o derivado de $\, \ E ^ x$ no ponto $\, \ X$ é que o mapa linear que envia $\, \ U$ para $\, \ Ue ^ x$ .

No contexto da álgebra de Banach não comutativos, tais como álgebra de matrizes ou operadores Banach ou Espaços de Hilbert, a função exponencial é muitas vezes considerado como uma função de um argumento real:

$\, \ F (t) = e ^ {t A}$

onde A é um elemento fixo da álgebra e t é um número real. Esta função tem as propriedades importantes

$\, \ F (S + T) = f (s) f (t)$

$\, \ F (0) = 1$

$\, \ F (t) = A f (t)$

Em álgebras de Lie

O o envio de um mapa exponencial Deite álgebra ao Grupo de Lie que deu origem a ele compartilha as propriedades acima, o que explica a terminologia. Na verdade, uma vez que R é a álgebra de Lie do grupo de Lie de todos os números reais positivos com a multiplicação, a função exponencial ordinário para argumentos reais é um caso especial da situação álgebra de Lie. Da mesma forma, uma vez que a álgebra de Lie M (n, R) de todas as matrizes reais quadrados pertence ao grupo de Lie de todas as matrizes quadradas invertíveis, a função exponencial para matrizes quadradas é um caso especial do mapa exponencial álgebra de Lie.

Função exponencial dupla

A função exponencial dupla prazo pode ter dois significados:

uma função com dois termos exponenciais, com diferentes expoentes
uma função $\, F (x) = a ^ {a ^ x}$ ; esta cresce ainda mais rápido do que uma função exponencial; por exemplo, se a = 10: f (-1) = 1,26, F (0) = 10, F (1) = 10 ^10, f (2) = 10 ¹⁰⁰ = gugol, ..., F (100) = googolplex.

Fatoriais crescer mais rápido do que funções exponenciais, mas mais lento do que as funções duplamente exponencial. Números de Fermat, gerados por $\, F (m) = 2 ^ 2 ^ {M} + 1$ e números Mersenne duplos gerados pela $\, MM (p) = 2 ^ {(2 ^ p-1)} - 1$ são exemplos de funções exponenciais duplos.

Imóveis similares de $e$ e a função $e ^ z$

A função $e ^ z$ não é em C (Z) (ou seja. não o quociente de dois polinómios com coeficientes complexos).

Para números complexos n distintas $\ {A_1, ... a_n \}$ , $\ {E ^ {a_1 z}, ... e ^ {a_n z} \}$ é linearmente independente sobre C (Z).

A função $e ^ z$ é transcendental sobre C (z).

Periodicidade

Para todos os números inteiros n e complexo x:

$e ^ {x} = e ^ {x \, \ pm \, 2i \ pi n}$

Prova:

$\ Begin {align} e ^ {x} e = e ^ {x} 1 \\ & = e ^ {x} 1 ^ {\ pm n} \\ & = e ^ {x} (e ^ {2-I \ pi }) ^ {\ pm n} \\ & = e ^ {x} e ^ {\ pm 2i \ pi n} \\ & = e ^ {x \, \ pm \, 2i \ pi n} \ end {align }$

Para todos os inteiros positivos n e um complexo & x:

$a ^ {x} = e ^ {\ ln a ^ {x}} = e ^ {x \ ln a} = e ^ {x \ ln a \, \ pm \, 2i \ pi n}$

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