Infini

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Le symbole de l'infini, ∞, dans plusieurs polices de caractères.

Infinity (représenté symboliquement avec ∞) provient des latins infinitas ou «l'absence de limites." Elle se réfère à plusieurs concepts distincts (généralement liés à l'idée de «sans fin») qui se posent dans la philosophie , les mathématiques , et la théologie.

En mathématiques , "l'infini" est souvent utilisé dans des contextes où elle est traitée comme se il se agissait d'un nombre (ie, il compte ou des mesures choses: "un nombre infini de termes") mais ce est un type de "nombre" différente de la nombres réels . Infinity est liée à des limites , numéros Aleph, classes dans la théorie des ensembles , Dedekind-ensembles infinis, grands cardinaux, Le paradoxe de Russell, arithmétique non-standard, numéros hyperréalistes, la géométrie projective, nombres réels étendues et la absolue Infini.

Histoire

Les premières vues indiennes de l'infini

Le Isha Upanishad de la Yajurveda (c. 4e-3e siècle avant JC) stipule que "si vous retirez une partie de l'infini ou d'ajouter une partie à l'infini, ce qui reste encore est l'infini".

Purnam Adah purnam idam (Ce est plein, ce est plein)

pūrṇāt purnam udacyate (Du plein, le plein est soustrait)

pūrṇasya purnam Adaya (Quand le plein est pris de la pleine)

evāvasiṣyate purnam (La pleine restera encore.) - Isha Upanishad

L'Indien mathématique texte Surya Prajnapti (c. 400 BC) classe tous les numéros en trois ensembles: énumérables, innombrables, et infinis. Chacun de ces a été subdivisée en trois ordres:

Enumerable moins, intermédiaire et plus
Innombrables: presque innombrables, vraiment innombrables et innombrablement innombrables
Infini: presque infinie, véritablement infini, infiniment infinie

Le Jaïns ont été les premiers à rejeter l'idée que tous les infinis étaient les mêmes ou égal. Ils ont reconnu les différents types de infinis: une longueur infinie (une dimension), infinie dans la zone (deux dimensions), infini en volume (trois dimensions), et infini perpétuellement (nombre infini de dimensions).

Selon Singh (1987), Joseph (2000) et Agrawal (2000), le plus grand nombre dénombrable N de la jaïns correspond à la notion moderne de aleph-null $\ Aleph_0$ (Le nombre cardinal de l'ensemble infini de nombres entiers 1, 2, ...), le plus petit cardinal Numéro transfinite. Le jaïns également défini tout un système de nombres cardinaux infinis, dont le plus grand nombre dénombrable N est le plus petit.

Dans le travail Jaina sur la théorie des ensembles , deux types de base de nombres infinis sont distingués. Sur la fois physique et motifs ontologiques, une distinction a été faite entre asaṃkhyāta ("innombrables, innombrables") et Ananta ("sans fin, illimité"), entre rigidement limitée et peu infinis bornées.

Logique

Dans la logique d'une infinie argument régression est «une sorte distinctement philosophique de argument tendant à démontrer qu'une thèse est défectueux parce qu'il génère une série infinie lorsque soit (forme A) pas cette série existe ou (forme B) était qu'elle existe, la thèse ne aurait pas la rôle (par exemple, de la justification) qu'il est censé jouer. "

symbole de l'infini

John Wallis a introduit le symbole de l'infini à la littérature mathématique.

L'origine précise de la symbole de l'infini "∞" ne est pas claire. Une possibilité est suggéré par le nom, il est parfois appelé la- lemniscate, de la lemniscus latine, signifiant "ruban." On peut imaginer marchant toujours le long d'une simple boucle formée à partir d'un ruban.

Une explication populaire est que le symbole de l'infini est dérivé de la forme d'un Ruban de Möbius. Encore une fois, on peut imaginer la marche le long de sa surface pour toujours. Toutefois, cette explication est peu probable, puisque le symbole avait été utilisé pour représenter l'infini pour plus de deux cents ans avant Août Ferdinand Möbius et Johann Benedict Listing découvert la bande de Möbius en 1858 .

Il est également possible qu'il se inspire de plus religieuse / alchimique symbolisme. Par exemple, il a été trouvé en tibétain gravures rupestres, et la ouroboros, ou l'infini serpent, est souvent représenté sous cette forme.

John Wallis est généralement crédité de présenter ∞ comme un symbole de l'infini dans 1655 dans les conicis de son De. Une conjecture sur pourquoi il a choisi ce symbole est qu'il a tiré à partir d'un chiffre romain pour 1000 qui a été à son tour dérivé du Chiffre étrusque 1000, qui ressemblait un peu à CIƆ et a été parfois utilisé pour signifier «beaucoup». Une autre conjecture est qu'il a tiré à partir de la lettre grecque ω ( omega), la dernière lettre de l' alphabet grec .

Une autre possibilité est que le symbole a été choisi parce qu'il était facile de tourner un caractère "8" par 90 ° lorsque la composition a été fait à la main. Le symbole est parfois appelé un «paresseux huit", évoquant l'image d'un "8" couché sur le côté.

Une autre croyance populaire est que le symbole de l'infini est une représentation claire de la sablier tourné de 90 °. De toute évidence, cette action entraînerait la vitre d'heure de prendre un temps infini pour vider présentant ainsi un exemple tangible de l'infini. L'invention du sablier est antérieure à l'existence du symbole de l'infini permet cette théorie soit plausible.

Le symbole de l'infini est représenté dans Unicode par le ∞ de caractère (U + 221E).

L'infini mathématique

Infinity est utilisé dans diverses branches des mathématiques.

Calcul

En analyse réelle, le symbole $\ Infty$ , Appelé "l'infini", désigne un illimitée limite . $x \ rightarrow \ infty$ signifie que x croît sans borne, et $x \ rightarrow - \ infty$ signifie que la valeur de x diminue sans borne. Si f (t) ≥ 0 pour tout t, puis

$\ Int_ {a} ^ {b} \, f (t) \ dt \ = \ infty$ signifie que f (t) n'a pas forcément une zone finie de A à B
$\ Int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) \ dt \ = \ infty$ signifie que l'aire sous f (t) est infini.
$\ Int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) \ dt \ = 1$ signifie que la zone sous f (t) est égal à 1

Infinity est également utilisé pour décrire série infinie:

$\ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} \, f (i) = x$ signifie que la somme de la série infinie converge vers une certaine valeur réelle x.
$\ Sum_ {i = 0} ^ {\ infty} \, f (i) = \ infty$ signifie que la somme de la série infinie diverge dans le sens spécifique que les sommes partielles se développer sans borne.

Propriétés algébriques

Infinity est souvent utilisé non seulement pour définir une limite mais comme une valeur dans le système des nombres réels affinement étendue. Points marqués $\ Infty$ et $- \ Infty$ peuvent être ajoutés à la espace topologique des nombres réels, produisant les deux points compactification des nombres réels. Ajout de propriétés algébriques pour cela nous donne les nombres réels prolongées. Nous pouvons également traiter $\ Infty$ et $- \ Infty$ comme le même, ce qui conduit à un point le compactifié des nombres réels, qui est le droite projective réelle. La géométrie projective introduit également une droite à l'infini en géométrie plane , et ainsi de suite pour les dimensions supérieures.

La ligne de nombre réel étendu ajoute deux éléments appelés infini ( $\ Infty$ ), Plus grand que tous les autres nombres réels prolongées, et l'infini négatif ( $- \ Infty$ ), À moins que tous les autres nombres réels étendues, pour lesquelles des opérations arithmétiques peuvent être exécutées.

Analyse complexe

Comme dans l'analyse réelle, dans analyse complexe du symbole $\ Infty$ , Appelé "l'infini", désigne un illimitée limite . $x \ rightarrow \ infty$ signifie que l'ampleur $| X |$ x croît au-delà d'une valeur assignée. Un Point marqué $\ Infty$ peuvent être ajoutés au plan complexe en tant que espace topologique donnant la un point compactifié du plan complexe. Lorsque cela est fait, l'espace qui en résulte est une unidimensionnelle variété complexe, ou surface de Riemann , appelé le plan complexe prolongée ou Sphère de Riemann. Les opérations arithmétiques similaires à celles données ci-dessous pour les nombres réels prolongées peuvent également être définis, se il n'y a pas de distinction dans les signes (donc une exception est que l'infini ne peut pas être ajouté à lui-même). D'autre part, ce genre de débordement permet division par zéro, à savoir $z / 0 = \ infty$ pour tout nombre complexe z. Dans ce contexte est souvent utile de considérer fonctions méromorphes que des cartes dans la sphère de Riemann prenant la valeur de $\ Infty$ aux pôles. Le domaine d'une fonction de valeur complexe peut être étendue pour inclure le point à l'infini ainsi. Un exemple important de ces fonctions est le groupe des Transformations de Möbius.

Analyse non standard

La formulation initiale du calcul par Newton et Leibniz utilisé des quantités infinitésimales. Au XXe siècle, il a été montré que ce traitement pourrait être mis sur un pied rigoureuse à travers diverses systèmes logiques, y compris analyse infinitésimale lisse et analyse non standard. Dans ce dernier, sont infinitésimales inversible, et leurs inverses sont des nombres infinis. Les infinis dans ce sens font partie d'un tout domaine; il n'y a pas d'équivalence entre eux comme avec l'cantorienne transfinites. Par exemple, si H est un nombre infini, alors H + H = 2H et H + 1 sont différents nombres infinis.

La théorie des ensembles

Un type de "l'infini" différent sont les ordinaux et cardinaux infinis de la théorie des ensembles. Georg Cantor a développé un système de nombres transfinis, dans lequel le premier cardinal transfini est aleph-null $(\ Aleph_0)$ , Le cardinalité de l'ensemble des nombres naturels . Cette conception mathématique moderne de l'infini quantitatif développé à la fin du XIXe siècle du travail par Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind et d'autres, en utilisant l'idée de collections, ou ensembles.

L'approche de Dedekind était essentiellement d'adopter l'idée de -un à un la correspondance comme une norme pour comparer la taille des ensembles, et à rejeter le point de vue de Galileo (qui découle de Euclid ) que l'ensemble ne peut pas être la même taille que la partie. Un ensemble infini peut simplement être définie comme ayant une même taille que la au moins une de ses " propres "parties; cette notion de l'infini est appelé Dedekind infinie.

Cantor a défini deux types de nombres infinis, les nombres ordinaux et la nombres cardinaux. Les nombres ordinaux peuvent être identifiés avec ensembles bien ordonnés, ou comptage effectué à ne importe quel point d'arrêt, y compris les points après un nombre infini ont déjà été comptabilisés. Généraliser fini et l'infini ordinaire séquences qui sont des cartes positifs entiers conduit à mappages de nombres ordinaux, et des séquences transfinis. Les nombres cardinaux définissent la taille des ensembles, ce qui signifie combien de membres qu'ils contiennent, et peuvent être normalisées en choisissant le premier numéro d'ordre d'une certaine taille pour représenter le nombre cardinal de cette taille. La plus petite de l'infini ordinal est celle des nombres entiers positifs, et tout ensemble qui a la cardinalité des nombres entiers est infini dénombrable. Si un ensemble est trop grand pour être mis en correspondance un à un avec les nombres entiers positifs, il est appelé innombrables. Les vues de Cantor prévalu et les mathématiques modernes accepte infini actuel. Certains prolongées nombre de systèmes, tels que la numéros hyperréels, intègrent les nombres ordinaires (finis) et un nombre infini de différentes tailles.

Notre intuition acquise dans ensembles finis décompose lorsqu'il se agit de ensembles infinis. Un exemple de ceci est Hôtel de Hilbert.

Cardinalité du continuum

Un des résultats les plus importants de Cantor était que le cardinalité du continuum ( $\ Mathbf c$ ) Est supérieure à celle des nombres naturels ( ${\ Aleph_0}$ ); ce est, il ya de plus réel que des chiffres des nombres R naturel N. A savoir, Cantor a montré que $\ Mathbf {c} = 2 ^ {\ aleph_0}> {\ aleph_0}$ (Voir Argument de la diagonale de Cantor).

Le hypothèse de continuum déclare qu'il n'y a pas de nombre cardinal entre le cardinal des réels et la cardinalité des nombres naturels, ce est- $\ Mathbf {c} = \ aleph_1$ . Toutefois, cette hypothèse ne peut être ni prouvée ni réfutée dans le largement acceptée Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, même en supposant que le Axiom of Choice.

Cardinal arithmétique peut être utilisé pour montrer non seulement que le nombre de points dans un véritable ligne de nombre est égal au nombre de points dans ne importe quel tronçon de cette ligne, mais que ce ne est égal au nombre de points sur un plan et, en fait, dans ne importe quel espace de dimension finie. Ces résultats sont très contre-intuitif, car ils impliquent qu'il existe des sous-ensembles appropriés d'un ensemble infini S qui ont la même taille que S.

Le premier de ces résultats est apparent en considérant, par exemple, la tangente fonction, qui fournit un une-à-une correspondance entre le intervalle [-0.5π, 0.5π] et R (voir aussi Hôtel de Hilbert). Le deuxième résultat a été prouvé par Cantor en 1878, mais ne est devenue apparente intuitivement en 1890, lorsque Giuseppe Peano a présenté le courbes de remplissage d'espace, lignes courbes que tordre et tourner assez pour remplir l'ensemble de ne importe quel carré ou cube, ou hypercube, ou un espace de dimension finie. Ces courbes peuvent être utilisés pour définir un un-à-un entre les points dans le côté d'un carré et ceux du carré.

Il est également possible de montrer que les ensembles de cardinal strictement supérieur $\ Mathbf c$ exister. Ils comprennent, par exemple:

l'ensemble de tous les sous-ensembles de R, à savoir le ensemble de R de puissance, P écrite (R) ou 2 ^R
l'ensemble R ^R de toutes les fonctions de R à R

Tous les deux ont cardinalité $2 ^ \ mathbf {c} = \ beth_2$ (Voir Beth).

Mathématiques sans débordement

Leopold Kronecker a rejeté la notion de l'infini et a commencé une école de pensée, dans le philosophie des mathématiques appelé finitisme qui a influencé l'école philosophique et mathématique de constructivisme mathématique.

L'infini physique

Dans la physique , des approximations de nombres réels sont utilisés pour mesures continues et nombres naturels sont utilisés pour mesures discrètes (ce est à dire de comptage). On suppose donc que par les physiciens pas quantité mesurable pourrait avoir une valeur infinie, par exemple en prenant une valeur infinie dans un prolongée système des nombres réels (voir aussi: Numéro hyperréel), ou en exigeant le comptage d'un nombre infini d'événements. Il est par exemple impossible pour un présumé corps d'avoir la masse infinie ou d'énergie infinie. Il existe le concept d'entités infinite (comme un infini onde plane), mais il n'y a aucun moyen de produire de telles choses.

Il convient de souligner que cette pratique de refuser des valeurs infinies pour des quantités mesurables ne est pas venu de a priori ou motivations idéologiques, mais plutôt de motivations plus méthodologiques et pragmatiques. L'un des besoins de toute théorie physique et scientifique est de donner des formules utilisables qui correspondent à la réalité ou du moins approximative. Par exemple si un objet de masse gravitationnelle infinie existait, toute utilisation de la formule pour calculer la force gravitationnelle conduirait à un résultat infini, ce qui serait d'aucune utilité puisque le résultat serait toujours le même quelle que soit la position et la masse de l'autre objet. La formule serait utile ni pour calculer la force entre deux objets de masse finie, ni pour calculer leurs mouvements. Si un objet de masse infinie existait, ne importe quel objet de masse finie serait attiré avec force infinie (et donc l'accélération) par l'objet masse infinie, qui ne est pas ce que nous pouvons observer dans la réalité.

Ce point de vue ne signifie pas que l'infini ne peut pas être utilisé en physique. Pour saké, des calculs, des équations, des théories et des approximations de commodité utilisent souvent série infinie, non bornés fonctions , etc., et peut impliquer quantités infinies. Les physiciens mais exigent que le résultat final soit physiquement significative. Dans la théorie quantique des champs infinis surgir, qui doivent être interprétées de manière à aboutir à un résultat physiquement significatif, un processus appelé renormalisation . Une application où infinis se posent est la quantification des températures thermodynamiques .

Cependant, il ya certaines circonstances actuellement acceptés lorsque le résultat final est infini. Un exemple en est les trous noirs . Les physiciens ont vérifié que, quand une étoile expériences effondrement gravitationnel, elle finira par se réduire à un point de taille zéro, et donc avoir une densité infinie. Ceci est un exemple de ce qu'on appelle un singularité mathématique ou un point où les lois des mathématiques, de la physique et, par conséquent, se décomposent. Certains physiciens pensent maintenant la singularité peut être physiquement réel, et ont depuis tourné leur attention vers la recherche de nouvelles mathématiques où infinis possibles.

Infinity en cosmologie

Une question intéressante est de savoir si l'infini actuel existe dans notre physique univers il ya une infinité de nombreuses stars:? Est-ce que l'univers ont volume infini? Est-ce que l'espace "durer éternellement"? Ce est une question ouverte importante de la cosmologie . Notez que la question de l'être infini est logiquement distincte de la question d'avoir des limites. La surface à deux dimensions de la Terre, par exemple, est finie, mais n'a pas de bord. En marche / voile / tout droit assez longtemps, vous revenez à l'endroit exact que vous avez commencé à partir. L'univers, au moins en principe, pourrait avoir un effet semblable topologie ; si vous pilotez votre vaisseau spatial tout droit assez longtemps, peut-être vous auriez éventuellement revoir votre point de départ. Si, cependant, l'univers est toujours en expansion , alors vous ne pourrait jamais revenir à votre point de départ, même à une échelle de temps infini.

représentations informatiques de l'infini

Le La norme IEEE à virgule flottante spécifie les valeurs de débordement positifs et négatifs; ceux-ci peuvent être le résultat de dépassement arithmétique, division par zéro, ou d'autres opérations exceptionnelles.

Certains langages de programmation (par exemple, J et UNITY) spécifier plus et les moins des éléments, ce est- comparer des valeurs (respectivement) supérieur ou inférieur à toutes les autres valeurs. Ceux-ci peuvent également être désignés haut et en bas, ou plus l'infini et moins l'infini; ils sont utiles comme valeurs de sentinelles dans algorithmes impliquant tri, recherche ou fenêtrage. Dans les langues qui ne ont pas les éléments les plus grands et les moins, mais ne permettent surcharge opérateurs relationnels, il est possible de créer des éléments plus grands et les moins (avec une certaine frais généraux, et le risque d'incompatibilité entre les implémentations).

Perspective et points à l'infini dans les arts

Perspective œuvre utilise le concept de l'imaginaire points de fuite, ou points à l'infini, situés à une distance infinie de l'observateur. Cela permet aux artistes de créer des peintures qui 'réaliste' représentent la distance et le raccourcissement des objets. Artiste MC Escher est spécialement connu pour employer le concept de l'infini dans son travail dans cette affaire et d'autres moyens.

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