Abstract álgebra

Abstract álgebra é a área objecto de matemática que estuda estruturas algébricas , como grupos , anéis, campos, módulos, espaços vetoriais , e álgebras. A maioria dos autores hoje em dia simplesmente escrever álgebra em vez de álgebra abstrata.

A álgebra abstrata termo agora se refere ao estudo de todas as estruturas algébricas, como distinta da álgebra elementar normalmente ensinada às crianças, que ensina as regras corretas para a manipulação de fórmulas e expressões algébricas que envolvem reais e números complexos , e incógnitas. Álgebra elementar pode ser tomado como uma introdução informal para as estruturas conhecidas como a campo real e álgebra comutativa.

Matemática contemporânea e física matemática fazem uso intensivo de álgebra abstrata; por exemplo, baseia-se em física teórica Álgebras de Lie. Áreas como teoria dos números algébricos, topologia algébrica, e geometria algébrica aplicar métodos algébricos para outras áreas da matemática. Teoria da representação, a grosso modo, leva a "abstrata" de "álgebra abstrata", estudando o lado concreto de uma determinada estrutura; ver teoria dos modelos.

Duas áreas matemáticos que estudam as propriedades de estruturas algébricas viram como um todo são álgebra universal e teoria da categoria. Estruturas algébricas, juntamente com o associado homomorphisms, forma categorias. Teoria da categoria é um formalismo poderoso para estudar e comparar diferentes estruturas algébricas.

História e exemplos

Como em outras partes da matemática, problemas concretos e exemplos têm desempenhado um papel importante na evolução da álgebra. Através do fim do século XIX muitos, talvez mais, destes problemas foram de alguma forma relacionada com a teoria de equações algébricas. Entre os principais temas podemos citar:

• resolução de sistemas de equações lineares, o que levou a matrizes, determinantes e álgebra linear .
• tenta encontrar fórmulas para soluções de equações polinomiais gerais de grau mais elevado que resultaram na descoberta de grupos como manifestações abstratos de simetria ;
• e as investigações matemáticas de formas quadráticas e grau superior e equações diofantinas, nomeadamente, para provar o último teorema de Fermat , que produziu diretamente as noções de um anel e ideal.

Inúmeros livros didáticos em álgebra abstrata começar com definições axiomáticas de várias estruturas algébricas e depois prosseguir para determinar suas propriedades, criando uma falsa impressão de que de alguma forma em álgebra axiomas tinha chegado primeiro e depois serviu como motivação e como base de um estudo mais aprofundado. O verdadeiro fim do desenvolvimento histórico foi quase exatamente o oposto. A maioria das teorias que agora reconhecem como partes de álgebra começou como coleções de fatos díspares de vários ramos da matemática, adquiriu um tema comum que serviu como um núcleo em torno do qual vários resultados foram agrupados e, finalmente, tornou-se unificada em uma base de um conjunto comum de conceitos. Um exemplo deste arquétipo evolução pode ser visto na teoria de grupos .

A teoria do grupo precoce

Havia vários tópicos no início do desenvolvimento da teoria do grupo, em linguagem moderna vagamente correspondente a teoria dos números, teoria das equações, e geometria, dos quais vamos nos concentrar nos dois primeiros.

Leonhard Euler considerados operações algébricas em números módulo um inteiro, aritmética modular , provando sua generalização Pequeno teorema de Fermat. Estas investigações foram levadas muito mais longe por Carl Friedrich Gauss , que considerou a estrutura dos grupos multiplicativos de resíduos mod n e estabeleceu muitas propriedades da cíclico e mais geral grupos abelianos que surgem dessa maneira. Em suas investigações de composição de formas quadráticas binárias, Gauss declarou explicitamente a lei associativa para a composição de formas, mas como Euler antes dele, ele parece ter sido mais interessado em resultados concretos do que na teoria geral. Em 1870, Leopold Kronecker deu uma definição de um grupo abeliano no contexto de grupos de classe ideais de um campo de número, uma generalização de longo alcance do trabalho de Gauss. Parece que ele não amarrá-lo com o trabalho anterior em grupos, em particular, os grupos de permutação. Em 1882, considerando a mesma pergunta, Heinrich Weber percebeu a ligação e deu uma definição semelhante que envolveu a propriedade cancelamento mas omitiu a existência do elemento inversa, o que era suficiente no seu contexto (grupos finitos).

Permutações foram estudados por Joseph Lagrange em seu artigo de 1770 Reflexões sobre a résolution algébrique des équations dedicados a soluções de equações algébricas, em que ele introduziu Resolventes de Lagrange. O objetivo de Lagrange era entender por que as equações de terceiro e quarto grau admitir fórmulas para soluções, e ele identificou objetos como chaves permutações das raízes. Um romance importante passo dado por Lagrange neste trabalho foi a visão abstrata das raízes, ou seja, como símbolos e não como números. No entanto, ele não considerou composição de permutações. Por acaso, a primeira edição do De Edward Waring Meditationes Algebraicae apareceu no mesmo ano, com uma versão expandida publicada em 1782. Waring provou a teorema principal em funções simétricas, e especialmente considerada a relação entre as raízes de uma equação quártica e sua resolvent cúbicos. Mémoire sur la résolution des equações de Alexandre Vandermonde (1771) desenvolveu a teoria de funções simétricas de um ângulo ligeiramente diferente, mas como Lagrange, com o objetivo de compreender solvabilidade de equações algébricas.

Kronecker alegou em 1888 que o estudo da álgebra moderna começou com este primeiro papel de Vandermonde. Cauchy afirma muito claramente que Vandermonde tinha prioridade sobre Lagrange para esta ideia notável que eventualmente levou ao estudo da teoria do grupo.

Paolo Ruffini foi a primeira pessoa a desenvolver a teoria da grupos de permutação, e como seus predecessores, também no contexto da resolução de equações algébricas. Seu objetivo era estabelecer impossibilidade de solução algébrica a uma equação algébrica geral de grau maior do que quatro. No caminho para este objetivo, ele introduziu a noção da ordem de um elemento de um grupo, conjugação, a decomposição ciclo de elementos de grupos de permutação e as noções de primitivo e imprimitive e provou alguns teoremas importantes relacionadas esses conceitos, tais como

se G é um subgrupo de S ₅ cuja ordem é divisível por 5, então G contém um elemento de ordem 5.

Note, no entanto, que ele chegou sem por formalizar o conceito de um grupo, ou até mesmo de um grupo de permutação. O próximo passo foi feita pelo Évariste Galois em 1832, embora o seu trabalho permaneceu inédito até 1846, quando ele considerou pela primeira vez o que hoje chamamos a propriedade de encerramento de um grupo de permutações, que ele expressa como

... Se em tal grupo um tem as substituições S e T, em seguida, tem-se a substituição ST.

A teoria de grupos de permutação recebeu mais abrangente de desenvolvimento nas mãos de Augustin Cauchy e Camille Jordan, tanto através da introdução de novos conceitos e, principalmente, uma grande riqueza de resultados sobre classes especiais de grupos de permutação e mesmo alguns teoremas gerais. Entre outras coisas, Jordan definiu uma noção de isomorfismo, ainda no contexto de grupos de permutação e, aliás, foi ele quem colocou o grupo termo largamente utilizado.

A noção abstrata de um grupo apareceu pela primeira vez em Papéis de Arthur Cayley em 1854. Cayley percebeu que um grupo não necessita de ser um grupo de permutações (ou mesmo finita), e podem consistir em vez de matrizes , cujas propriedades algébrica, tais como multiplicação e inversos, que sistematicamente investigadas nos anos seguintes. Muito mais tarde Cayley iria revisitar a questão de saber se os grupos abstratos eram mais geral do que os grupos de permutação, e estabelecer que, na verdade, qualquer grupo é isomorfo a um grupo de permutações.

Álgebra moderna

O final de 19 e início do século 20 viu uma tremenda mudança na metodologia da matemática. Não mais satisfeito com o estabelecimento de propriedades de objetos concretos, os matemáticos começaram a voltar sua atenção para a teoria geral. Por exemplo, os resultados sobre vários grupos de permutações passaram a ser vistos como instâncias de teoremas gerais que dizem respeito a uma noção geral de um grupo abstrato. Questões de estrutura e classificação de vários objetos matemáticos veio a vanguarda. Estes processos foram ocorrendo ao longo de toda a matemática, mas tornou-se especialmente pronunciado na álgebra. Definição formal através de operações e axiomas primitivos foram propostos para muitas estruturas algébricas básicas, tais como grupos , anéis, e campos. As investigações algébricas de campos gerais por Ernst Steinitz e de anéis comutativos gerais e depois por David Hilbert , Emil Artin e Emmy Noether , construindo sobre o trabalho de Ernst Kummer, Leopold Kronecker e Richard Dedekind, que tinha considerado ideais em anéis comutativos, e de Georg Frobenius e Issai Schur, relativa a teoria da representação de grupos, chegou a definir álgebra abstrata. Estes desenvolvimentos do último quartel do século 19 e no primeiro trimestre de século 20 foram expostos de forma sistemática no Álgebra Moderne Bartel van der Waerden, a monografia em dois volumes publicados em 1930-1931 que mudou para sempre para o mundo matemático o significado da palavra álgebra a partir da teoria das equações para a teoria das estruturas algébricas.

Um exemplo

Abstract álgebra facilita o estudo de propriedades e os padrões que os conceitos matemáticos aparentemente díspares têm em comum. Por exemplo, considere as operações distintas de composição de função , f (G (x)), e de multiplicação de matrizes , AB. Estas duas operações têm, de facto, a mesma estrutura. Para ver isso, pensar sobre a multiplicação de dois matrizes quadradas, AB, por um vetor de uma coluna, x. Isto define uma função equivalente à composição Ay com Bx: Ay = A (Bx) = (AB) x. Funções no âmbito de composição e matrizes sob multiplicação são exemplos de monoids. Um conjunto S e um operação binária sobre S, denotado por concatenação, formar um monóide se a operação associados , (AB) C = a (aC), e se existe um e ∈ S, de tal modo que ae = EA = a.