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Decimal

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O decimal (base dez ou ocasionalmente denary) sistema numeral tem dez como seu base. É o sistema de numeração mais amplamente utilizado, talvez porque os seres humanos têm quatro dedos polegar e um em cada mão, dando um total de dez dígitos sobre ambas as mãos.

Notação decimal

Notação decimal é a escrita de números na base de dez sistema numérico , que usa vários símbolos (chamados de dígitos ) para não mais de dez valores distintos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ) para representar todos os números, não importa quão grande. Estes dígitos são frequentemente utilizados com um separador decimal que indica o início de uma parte fraccionada, e com um dos símbolos do sinal + (positivo) ou - (negativo) em frente dos números para indicar sinal. Existem apenas dois sistemas decimais verdadeiramente posicionais na civilização antiga, o Contagem chinês sistema de hastes e sistema numérico hindu-arábico, ambos necessários não mais que dez símbolos. Outros sistemas numéricos exigem mais ou menos símbolos.

O sistema decimal é um sistema numeral posicional; ela tem posições para unidades, dezenas, centenas, etc. A posição de cada dígito transmite o multiplicador (a potência de dez) para ser usado com esse dígito-cada posição tem um valor dez vezes maior do que a posição do seu direito.

Dez é o número que é a contagem de dedos e polegares das duas mãos (ou pés nos pés). Em muitas línguas, a palavra dígito ou a sua tradução é também o termo anatômico referindo aos dedos das mãos e pés. Em Inglês, decimal (decimus < Lat. ) significa décimo, dizimar meios reduzir em um décimo, e denary (denário <Lat.) significa o unidade de dez. Os símbolos para os dígitos de uso comum em torno do globo hoje são chamados Algarismos arábicos e por europeus Numerais indianos por árabes, os termos dos dois grupos, tanto referindo-se à cultura da qual eles aprenderam o sistema. No entanto, os símbolos utilizados nas diferentes áreas não são idênticos; por exemplo, algarismos arábicos ocidentais (a partir do qual os numerais europeus são derivados) diferem das formas utilizadas por outras culturas árabes.

Notações alternativas

Algumas culturas não, ou costumava, utilizar outros sistemas numéricos, incluindo pré-colombiana Culturas mesoamericanas, como o Maya, que usam uma sistema vicesimal (utilizando todas as vinte e dedos dedos do pé), alguns nigerianos que usam vários duodecimal (base 12) sistemas, os babilônios , que usou sexagesimal (base 60), e o Yuki, que supostamente usado octal (base 8).

Computer hardware e sistemas de software geralmente usam uma representação binária , internamente. Para uso externo por especialistas em computação, esta representação binária é por vezes apresentado na relacionado octal ou hexadecimais sistemas. Para a maioria dos fins, contudo, os valores binários são convertidos para os valores decimais equivalentes para a apresentação e manipulação por seres humanos.

Tanto de hardware e software de computador também usam representações internas que são efectivamente decimal para armazenar valores decimais e fazer aritmética. Muitas vezes isso é feito em aritmética de dados que são codificados usando decimal, mas há outras representações decimais em uso com código binário (ver IEEE 754r), especialmente em implementações de bancos de dados. Aritmética decimal é utilizado em computadores, de modo que os resultados fraccionários decimais pode ser calculada exactamente, o que não é possível utilizando uma representação binária fraccionada. Isso é muitas vezes importante para cálculos financeiros e outros .

Frações decimais

Uma fracção decimal é uma fracção em que o denominador é uma potência de dez.

Frações decimais normalmente são expressas sem um denominador, a separador decimal sendo inserido no numerador (com zeros adicionados, se necessário), na posição do direito correspondente à potência de dez do denominador. por exemplo, 10/08, 833/100, 83/1000, e 8/10000 são expressos como:. 0 8, 8 33, 0 083, 0 e 0.008.... Em países de língua Inglês, um ponto (·) ou período é usado como separador decimal (.); na maioria das outras línguas uma vírgula é usada.

A parte inteira ou parte integrante de um número decimal é a parte do lado esquerdo do separador decimal (ver também função andar). A parte do separador decimal para a direita é a parte fracionária; se tal for considerado como uma série separada, um zero é muitas vezes escrita em frente. Especialmente para os números negativos, temos de distinguir entre a parte fracionária da notação ea parte fracionária do número em si, porque este último recebe o seu próprio sinal de menos. É usual para um número decimal que é menos do que um ter de um zero inicial.

Zeros à direita após o ponto decimal não são necessárias, embora em ciência, engenharia e estatísticas que podem ser retidos para indicar a precisão requerida ou para mostrar um nível de confiança na precisão do número:.. Considerando que 0 080 0 e 08 são numericamente igual, em engenharia 0. 080 sugere uma medida com um erro de até 1 parte em dois mil (± 0. 0005), enquanto que 0. 08 sugere uma medida com um erro de até 1 em cada duzentos (veja Algarismos significativos).

Outros números racionais

Qualquer número racional , que não pode ser expressa como uma fracção decimal tem uma expansão decimal infinito único que termina com recorrentes decimais.

Dez é o produto do primeiro e terceiro números primos , é maior do que o quadrado do segundo número primo, e é menos um do que o quinto número primo. Isto leva a uma abundância de frações simples:

1/2 = 0,5
1/3 = 0,333333 ... (com repetição 3)
1/4 = 0,25
1/5 = 0,2
1/6 = 0,166666 ... (com 6 repetir)
1/8 = 0,125
1/9 = 0,111111 ... (com uma repetição)
1/10 = 0,1
1/11 = 0,090909 ... (com repetição 09)
1/12 = 0,083333 ... (com 3 repetição)
1/81 = 0,012345679012 ... (com 012.345.679 repetir)

Outros fatores primos no denominador vai dar mais recorrentes sequências , ver, por exemplo 7, 13.

Que um número racional deve ter um expansão decimal finito ou recorrente pode ser vista como uma consequência da divisão longa algoritmo , em que não só são q-1 diferente de zero possível restos de divisão por q, de modo que o padrão recorrente terá um período de menos de q. Por exemplo para encontrar 3/7 por divisão longa:

    0,4 8 5 2 7 1 4 ...
  7) 3,0 0 0 0 0 0 0 0 
     2 8 30/7 4 = 2 r
        2 0
       1 20/7 4 = 2 r 6
          0 6
         5 6 60/7 = 8 R4
            4 0
           3 5 5 = 40/7 R5
              0 5
             4 9 = 50/7 7 1 r
                1 0
               7 = 10/7 1 R3
                  3 0
                 2 8 30/7 4 = R 2 (de novo)
                    2 0
                         etc

O inverso a esta observação é que cada decimal recorrente representa um número racional p / q. Esta é uma consequência do facto de a parte recorrente de uma representação decimal é, de fato, um infinito série geométrica que irá resumir a um número racional. Por exemplo,

0,0123123123 \ cdots = \ frac {123} {10000} \ sum_ {k = 0} ^ \ infty 0,001 ^ k = \ frac {123} {10000} \ \ frac {1} {1-,001} = \ frac {123 } {9990} = \ frac {41} {3330}

Números reais

Cada número real tem um (possivelmente infinito) representação decimal, ou seja, ele pode ser escrito como

x = \ mathop {sinal rm \} (x) \ sum_ {i \ in \ mathbb Z} a_i \, 10 ^ i

onde

  • assinar () é o função sinal,
  • um i ∈ {0,1, ..., 9} para todo iZ, são seus dígitos decimais, iguais a zero para todos os i maiores do que algum número (que número é o logaritmo comum de | x |).

Tal soma converge como eu diminui, mesmo se não são infinitamente muitos diferente de zero a i.

Números racionais (por exemplo p / q) com factores primos no denominador diferente de 2 e 5 (quando reduzida a termos mais simples) tem uma única representação decimal recorrente.

Considere esses números racionais que têm apenas os fatores 2 e 5 no denominador, ou seja, que pode ser escrita como p / (2 a 5 b). Neste caso, não é uma representação decimal de terminação. Por exemplo, 1/1 = 1, 1/2 = 0,5, 3/5 = 0,6, 3/25 = 0,12 e 1306/1250 = 1,0448. Tais números são os únicos números reais que não têm uma representação decimal original, como também pode ser escrita como uma representação que possui uma recorrente 9, por exemplo, 1 = 0,99999 ..., 1/2 = 0,499999 ..., etc.

Isso deixa os números irracionais . Eles também têm representação exclusiva decimal infinito, e pode ser caracterizado como os números cujas representações decimal nem terminar nem recorrer.

Assim, em geral, a representação decimal é único, se se excluir as representações que terminam em um recorrentes 9.

Naturalmente, a mesma tricotomia vale para outra base-n sistemas numerais posicionais:

  • Representação encerra: onde racional o denominador divide alguns n k
  • Representação recorrente: outro racional
  • Não-encerramento, a representação não-recorrente: irracional

e uma versão deste mesmo vale para sistemas de numeração irracional de base, tais como representação de base média de ouro.

História

Segue-se uma lista cronológica de escritores decimais gravadas.

Escritores decimais

  • c 3500 -. 2500 aC Elamites do Irã possivelmente usado formas primitivas de sistema decimal.
  • . c 2900 aC egípcios hieróglifos mostram contando em potências de 10 (1.000.000 + 400.000 cabras, etc.) - veja Ifrah, abaixo
  • . c 2600 aC Civilização do Vale , primeiro uso conhecido da física decimais frações em peso sistema antigo: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2. Veja pesos e medidas antiga do Vale do Indo
  • . c 1400 aC chinês escritores mostrar familiaridade com o conceito: por exemplo, 547 está escrito 'Quinhentos além de quatro décadas, mais de sete dias' em alguns manuscritos
  • c. 1200 aC Na ?ndia antiga , o Texto védico Yajur-Veda afirma os poderes de 10, até 10 55
  • c. 400 aC Pingala - desenvolve o sistema numérico binário para sânscrito prosódia, com um mapeamento claro para o sistema decimal base-10
  • c. 250 aC Archimedes escreve o Areia Reckoner, que leva cálculo decimal para cima a 10 80,000,000,000,000,000
  • c 100-200 A. Satkhandagama escrito em ?ndia - primeiro uso de logaritmos decimais
  • c. 476-550 Aryabhata - usa um sistema de codificação alfabética para os números que costumavam de zero
  • c. 598-670 Brahmagupta - explica o Algarismos hindu-arábico (sistema moderno número) que usa decimais inteiros , inteiros negativos e zero,
  • . c 780-850 Muhammad ibn Musa al-Ḵwārizmī - primeiro a expor algorism fora ?ndia
  • c. 920-980 Abu'l Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uqlidisi - mais antigo conhecido tratamento matemático direto de frações decimais.
  • c. 1300-1500 A Kerala School, em Sul da ?ndia - decimal números de ponto flutuante
  • 1548 / 49-1620 Simon Stevin - autor de De Thiende ("o décimo ')
  • 1561-1613 Bartholemaeus Pitiscus - (possivelmente) ponto decimal notação.
  • 1550-1617 John Napier - uso de logaritmos decimais como uma ferramenta computacional
  • 1765 Johann Heinrich Lambert - discute (com poucos ou nenhuns provas) padrões em expansões decimais de números racionais e regista uma conexão com pequeno teorema de Fermat no caso de denominadores principais
  • 1800 Karl Friedrich Gauss - usa a teoria dos números para explicar sistematicamente padrões recorrentes em expansões decimais de números racionais (por exemplo, a relação entre a duração do período de a parte recorrente eo denominador, que frações com o mesmo denominador têm recorrentes partes decimais que são mudanças de cada outros, como 1/7 e 2/7) e também coloca questões que permanecem em aberto até hoje (por exemplo, um caso especial de A conjectura de Artin em raízes primitivas: 10 é um gerador de módulo p para infinitos números primos p)?.
  • 1925 Louis Charles Karpinski - A História de Arithmetic
  • 1959 Werner Buchholz - Dedos ou Fists? (A Escolha de Decimal ou representação binária)
  • 1974 Hermann Schmid - Computação Decimal
  • 2000 Georges Ifrah - A História Universal dos Números: da pré-história à invenção do computador
  • 2003 Mike Cowlishaw - Decimal Floating-Point: algorism para computadores.

As linguagens naturais

Um sistema decimal simples, em que 11 é expresso como 1001 e 23 de 2-10 e três anos, é encontrado em línguas chinesa excepto Wu, e em Vietnamita com algumas irregularidades. Japonesa, Coreano, e Thai importou o sistema decimal chinês. Muitas outras línguas com um sistema decimal têm palavras especiais para os números entre 10 e 20, e décadas.

Línguas incas como Quechua e Aymara ter um sistema decimal quase simples, em que 11 é expresso em dez com um e 23 como 2-10, com três.

Alguns psicólogos sugerem irregularidades de números em uma língua pode prejudicar a capacidade de contagem das crianças.

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