Exponenciação

Exponenciação é um matemático operação, escreveu um ^n, envolvendo dois números, os base de um eo expoente n. Quando o símbolo n representa um positivo inteiro , a exponenciação corresponde ao repetido multiplicação :

assim como a multiplicação por um número inteiro corresponde ao repetido disso :

O expoente é geralmente mostrado como um sobrescrito para a direita da base. A exponenciação um ⁿ pode ser lido como: um elevado à potência n-th ou um elevado à potência [do] n, ou mais brevemente: um para o poder n-th ou um para o poder [de] n, ou ainda mais rapidamente: um para o n. Alguns expoentes pode ser lido de uma certa maneira; por exemplo, um ² é geralmente lido como um quadrado e um ³ como um cubo.

A fonte de um, ⁿ pode também ser definido quando o expoente n é um número inteiro negativo. Quando a base é um de um número real positivo, a potência é definida para expoentes reais e ainda complexos n. O especial exponencial função e ^x é fundamental para essa definição. Ele permite que as funções de trigonometria a ser expresso por exponenciação. No entanto, quando a base de um não é um número real positivo e o expoente n não é um número inteiro, então a ⁿ não pode ser definido como uma única função contínua de um.

Exponenciação onde o expoente é uma matriz é usado para sistemas de resolver equações diferenciais lineares.

Exponenciação é usado de forma generalizada em muitos outros domínios, bem como, incluindo economia, biologia, química, física e ciência da computação, com aplicações como juros compostos, o crescimento da população, química cinética de reação, onda comportamento, e criptografia de chave pública.

Exponenciação com expoentes inteiros

A operação de exponenciação com expoentes inteiros requer apenas álgebra elementar .

Expoentes inteiros positivos

a ² = um · um é chamado o de um quadrado, porque a área de um quadrado com um lado de comprimento é um ^2.

a ³ = a · a · um é chamado a cubo, porque o volume de um cubo com lado de comprimento a é um ^3.

Então 3 ² é pronunciado "três ao quadrado", e 2 ³ é "cubos dois".

O expoente diz quantas cópias da base são multiplicados juntos. Por exemplo, 3 ⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243. A base 3 aparece 5 vezes na multiplicação repetida, porque o expoente é 5. Aqui, 3 é a base, 5 é o expoente, e 243 é a potência ou, mais especificamente, a quinta potência de 3 ou 3 elevado à quinta potência.

A palavra "levantada" é geralmente omitido, e na maioria das vezes "poder", bem, então 3 ⁵ é tipicamente pronuncia-se "três para a quinta" ou "três a cinco".

Formalmente, as potências com expoentes inteiros positivos pode ser definida pela condição inicial a ¹ = um eo uma relação de recorrência ^{n 1} = a · a ^n.

Expoentes um e zero

Note-se que 3 ¹ é o produto de um único 3, que é, evidentemente, 3.

Observe também que 3 ⁵ = 3 · 3 ^4. Também 3 ⁴ = 3 · ³ 3. Continuando esta tendência, devemos ter

3 ¹ 3 = ⁰ · 3.

Outra forma de dizer isto é que quando n, m, e n - m são positivos (e se x não é igual a zero), pode-se ver pela contagem do número de ocorrências de x que

Estendida para o caso de que n e m são iguais, a equação iria ler

uma vez que tanto o numerador eo denominador são iguais. Portanto, tome isso como a definição de x ^0.

Por isso, definimos 3 ⁰ = 1, de modo que a igualdade acima mantém. Isso leva à seguinte regra:

• Qualquer número elevado à potência 1 é em si.
• Qualquer número diferente de zero para o poder 0 é 1; uma interpretação desses poderes é tão produtos vazios. O caso de 0 ⁰ é discutida abaixo .

Interpretação combinatória

Para inteiros não negativos n e m, o poder n ^m é igual a cardinality do jogo de m - tuplas de um n -element conjunto, ou o número de palavras a partir de uma m -Carta n -letter alfabeto.

⁵ = 0 | {} | = 0. Não há 5-tupla do conjunto vazio.

1 ⁴ = | {(1,1,1,1)} | = 1. Há um 4-tuple partir de um conjunto de um único elemento.

2 ³ = | {(1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1, 2), (2,2,1), (2,2,2)} | = 8. Há 8 3-tuplas de um conjunto de dois elementos.

3 = ² | {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3, 2), (3,3)} | = 9. Há 9 2-tuplas de um conjunto de três elementos.

4 ¹ = | {(1), (2), (3), (4)} | = 4. Existem 4 1-tuplos de um conjunto de quatro elementos.

5 ⁰ = | {()} | = 1. Há exatamente um vazio tupla.

Veja também exponenciação sobre conjuntos .

Expoentes inteiros negativos

Levantando um número diferente de zero para a -1 poder produz o seu recíproco.

Assim:

Levantando 0 a uma potência negativa implicaria divisão por 0, e por isso é indefinido.

Um número inteiro expoente negativo também pode ser visto como repetida divisão pela base. Assim .

As identidades e as propriedades

O mais importante identidade satisfeita por exponenciação inteiro é:

Esta identidade tem como consequência:

para um ≠ 0, e

.

Outra identidade de base é

.

Embora a adição e multiplicação são conmutativo (por exemplo, 2 + 3 = 5 = 3 + 2 e 2 · 3 = 6 = 3 · 2), a exponenciação não é conmutativo: 2 ³ = 8, mas 3 ² = 9.

Da mesma forma, enquanto que a adição e multiplicação são associativo (por exemplo, (2 + 3) 4 = 9 = 2 + (3 + 4) e (2 · 3) · 4 = 24 = 2 · (3 · 4), a exponenciação é não associativas ou: 2 ³ para o 4º poder é 8 ⁴ ou 4096, mas 2 elevado à potência 3 ⁴ 2 é ⁸¹ ou 2.417.851.639.229.258.349.412.352 Sem parênteses para modificar a ordem de cálculo, a ordem é geralmente entendido como sendo da direita para a esquerda.:

Potências de dez

Ver Notação científica

Potências de 10 são facilmente calculado em base dez ( decimal sistema) número. Por exemplo, 10 ⁸ = 100000000.

Exponenciação com a base 10 é usado em notação científica para descrever números grandes ou pequenos. Por exemplo, 299.792.458 (a velocidade da luz no vácuo, em metros por segundo) pode ser escrita como 2,99792458 · 10 ⁸ e em seguida aproximada como 2.998 · 10 ^8, (ou às vezes como 299,8 · 10 ⁶ ou 299.8E + 6, especialmente em programas informáticos).

Prefixos SI baseadas em potências de 10 também são usados para descrever quantidades pequenas ou grandes. Por exemplo, o prefixo kilo significa 10 ³ = 1000, então um quilômetro é de 1000 metros.

Potências de dois

O positivo potências de 2 são importantes na ciência da computação , porque há 2 ⁿ valores possíveis para um n - bocado variável. Ver sistema de numeração binária .

Potências de 2 são importantes na teoria dos conjuntos desde um conjunto com n membros tem uma poder definir, ou conjunto de todos os subconjuntos do conjunto original, com 2 ⁿ membros.

As potências negativas de 2 são comumente usados, e os dois primeiros têm nomes especiais: metade, e trimestre.

Poderes de um

As potências inteiras de um somos um: 1 ⁿ = 1.

Poderes do zero,

Se o expoente é positivo, a potência zero é zero: 0 ⁿ = 0, em que n> 0.

Se o expoente é negativo, a potência zero (0 ^{- n,} em que n> 0) permanece indefinido, porque a divisão por zero é implicada.

Se o expoente é igual a zero, alguns autores definem 0 ⁰ = 1, enquanto que outros deixar indefinido, como discutido abaixo .

Poderes de menos um

Os poderes de menos um são úteis para expressar sequências alternadas.

Se o expoente é ainda, o poder de menos um é um: (-1) ^{2 n} = 1.

Se o expoente é ímpar, a potência de menos um é menos uma: (-1) ^{2 n} = ¹ -1.

Poderes da unidade imaginária

Os poderes da unidade imaginária i são úteis para expressar sequências de período 4. Ver, por exemplo Raiz da unidade # Periodicidade.

Poderes do e

O número e, na base do logaritmo natural , é uma bem estudada constante aproximadamente igual a 2,718. Ele pode ser aproximada por grandes potências positivos ou negativos de números próximo de um, tal como

ou

e definida como a limite

Qualquer potência inteira de diferente de zero e pode ser computado como este:

A função exponencial , definido pela

tem aplicações em muitas áreas da matemática e das ciências. Esta definição de e ^x corresponde à definição de e ^k quando x é um número inteiro, mas também se aplica para valores fraccionários, reais ou complexos de x, e mesmo quando X é uma matriz quadrada , que é usado em equações diferenciais ordinárias .

Outra fórmula popular é a série de potência

.

Poderes de números reais

Exponenciação com várias bases; de cima para baixo, base 10 (verde), base e (vermelho), base 2 (azul), base ½ (ciano). Note-se como todas as curvas de passar através do ponto (0, 1). Isto porque, de acordo com as propriedades de exponenciação , qualquer número diferente de zero elevado à potência 0 é 1. De referir ainda que em x = 1, o valor de y é igual à base. Isso ocorre porque qualquer número elevado à potência 1 é esse mesmo número.

De cima para baixo: x ^{1/8, 1/4, 1/2} x, x ^1, x ^2, x ^4, x ^8.

Levantando um número positivo real para um poder que não é um número inteiro pode ser realizado de duas maneiras.

• Número racional expoentes pode ser definida em termos de ^ª n raízes e expoentes diferentes de zero arbitrários podem então ser definido pela continuidade.
• O logaritmo natural pode ser utilizado para definir expoentes reais utilizando a função exponencial.

As características e propriedades mostradas acima são verdadeiras para expoentes não inteiros também.

Raiz principal th-n

Uma n-ésima raiz de um número a é um número tal que b b ⁿ = a.

Ao referir-se a n-ésima raiz de um número real um presume-se que o que é desejado é o principal enésimo raiz do número. Se a é um número real, e n é um número inteiro positivo, em seguida, a solução real única, com o mesmo sinal como a equação

é chamado o principal ^enésimo raiz de um, e é denotado usando o radical símbolo .

.

Por exemplo: 4 ^1/2 = 2, 8 ^1/3 = 2, (-8) ^1/3 = -2,.

Note-se que se n é até mesmo, os números negativos não terá um principal n º raiz.

Poderes racionais de números reais positivos

Exponenciação com um racional expoente m / n pode ser definido como

.

Por exemplo, 8 ^2/3 = 4.

Uma vez que qualquer número real pode ser aproximada por um número racional, a exponenciação a um expoente arbitrário verdadeiro k pode ser definido pela continuidade com a regra

onde o limite é tomada apenas sobre os valores racionais de r.

Por exemplo, se

em seguida

Poderes reais de números reais positivos

O logaritmo natural ln (x) é o inverso da função exponencial e ^x. Ela é definida para cada positivo número real b e satisfaz a equação

Supondo que b ^x já está definido, regras de logaritmos e expoentes dar a igualdade

Esta igualdade pode ser utilizado para definir a exponenciação com qualquer base real, b positivo quanto

Esta definição do número real de energia b ^x concorda com a definição dada acima usando expoentes racionais e continuidade. A definição de exponenciação usando logaritmos é mais comum no contexto de números complexos, como discutido abaixo.

Alguns poderes racionais de números reais negativos

Nem o logaritmo método nem o método expoente fraccionada pode ser utilizada para definir um ^k como um número real para um número real um negativo e um número real arbitrária k. Em alguns casos especiais, uma definição é possível: poderes integrais de números reais negativos são números reais, e poderes racionais de forma a ^{m / n,} onde n é ímpar pode ser computado usando raízes. Mas uma vez que não existe um verdadeiro número x tal que x ² = -1, a definição de um ^{m / n} quando n é par e ímpar m é necessário utilizar a unidade imaginária i, tal como descrito mais detalhadamente na secção seguinte.

O logaritmo método não pode ser utilizado para definir um ^k como um número real quando um <0 e ^x é porque não negativo para cada número real x, então log (a) não pode ser um número real.

O expoente racional método não pode ser usado para valores negativos de uma vez que se baseia em continuidade. A função f (r) = a ^r tem uma extensão contínua única a partir dos números racionais para os números reais para cada um> 0. Mas quando a <0, a função f não é contínua, mesmo no conjunto dos números racionais r para o qual ele está definido.

Por exemplo, pegue a = -1. O n º raiz de -1 é -1 para cada ímpar número natural n. Assim, se n é um número inteiro positivo estranho, (-1) ^{(m / n)} = 1 se m é ímpar, e (-1) ^{(m / n)} = 1, se m é mesmo. Assim, o conjunto de números racionais q para os quais -1 ^q = 1 é denso nos números racionais, como é o conjunto de q para o qual -1 ^q = -1. Isto significa que a função ^Q (-1) não é contínua em qualquer número racional q onde está definido.

Poderes imaginários de e

A interpretação geométrica das operações com números complexos e a definição de poderes de e é a chave para a compreensão e ^{i · x} para x real. Considere o triângulo retângulo (0, 1, 1 + i · x / n). Para grandes valores de n o triângulo é quase um sector circular com um pequeno ângulo central igual a x / n radianos. Os triângulos (0, (1 + i · x / n) ^k, (1+ i · x / n) ^{k +1)} são mutuamente semelhante para todos os valores de k. Assim, para grandes valores de N o ponto de limitação (1+ ix / n) ⁿ é o ponto sobre a círculo unitário cujo ângulo do eixo real positivo é x radianos . As coordenadas polares deste ponto são (r, θ) = (1, x), e as coordenadas cartesianas são (cos (x), sin (x)). Assim, e ^{i · x} = cos (x) + i · sen (x), e este é A fórmula de Euler, conectando álgebra para trigonometria , por meio de números complexos .

As soluções para a equação e ^z = 1 são os múltiplos inteiros de 2 · · π i:

Mais geralmente, e se ^b = a, em seguida, todas as soluções a e ^Z = a pode ser obtido por adição de um múltiplo inteiro de 2 · · π i para B:

.

Assim, a função exponencial complexa é uma função periódica com período de 2 · · π i.

Funções trigonométricas

Resulta A fórmula de Euler que a funções trigonométricas cosseno e seno são

Historicamente, cosseno e seno foram definidos geometricamente antes da invenção dos números complexos. A fórmula acima reduz as fórmulas complicadas para funções trigonométricas de uma soma para a fórmula simples exponenciação

Usando exponenciação com expoentes complexos não é preciso estudar trigonometria.

Complexas de poderes e

O poder e ^{x + i · y} é calculado e ^x · e ^{· i y.} O fator real e ^x é o valor absoluto do e ^{x + i · y} e o complexo de Factor E ^{i y ·} identifica o direção de e ^{x + i · y.}

Potências complexas de números reais positivos

Se a é um número real positivo, e z é um número complexo, o poder de um ^Z é definido como e ^{z · ln (a),} onde x = ln (a) é a única solução real para a equação de e ^x = a. Assim, o mesmo método de trabalho para expoentes reais também funciona para expoentes complexos. Por exemplo:

^I = 2 e ^{i · ln (2)} = cos (ln (2)) + i · sin (ln (2)) = 0.7692+ i · 0,63896

e ⁱ = 0.54030+ i · 0,84147

10 ⁱ = -0.66820+ i · 0,74398

(E ^{2 · π) i} = 535,49 ⁱ = 1

Poderes de números complexos

Potências inteiras de números complexos são definidos por multiplicação ou divisão repetido como acima. Potências complexas de reais positivos são definidos através de e ^x como acima. Estas são funções contínuas. Tentando estender essas funções para o caso geral de poderes não-inteiros de números complexos que não são reais positivos leva a dificuldades. Ou vamos definir funções descontínuas ou funções de valor múltiplo. Nenhuma dessas opções são inteiramente satisfatórios.

O poder racional de um número complexo deve ser a solução a uma equação algébrica. Por exemplo, w = ^1/2 z deve ser uma solução para a equação ² w = z. Mas se w é uma solução, é, em seguida, de modo - w, porque (-1) ² = 1. Assim, a equação algébrica w ² = Z não é suficiente para a definição de Z ^1/2. Escolher uma das duas soluções como o principal valor de z ^1/2 nos deixa com uma função que não é contínua, e as regras habituais para a manipulação de poderes nos desviar do caminho.

O logaritmo de um número de complexos

Uma solução, Z = log um, e com a equação ^z = a, chama-se a valor do principal do logaritmo complexo. É a única solução imaginária cuja parte encontra-se no . intervalo (-π, π] Por exemplo, log 1 = 0, log (-1) = π i, ingresse i = i π / 2, e log (-. i) = i -π / 2 Sobre o valor do o logaritmo é conhecido como um ramo do logaritmo; outros ramos pode ser especificado pela escolha de uma gama diferente para a parte imaginária do logaritmo A fronteira entre os ramos é conhecido como uma. corte ramo. O valor do principal tem um corte ramo que se estende desde a origem ao longo do eixo real negativo, e é descontínua em cada ponto de corte do ramo.

Potência complexa de um número complexo

O general poder complexo ^b de um número complexo diferente de zero é definida como uma

Quando o expoente é um número racional da energia z = a ^{n / m} é uma solução para a equação z = ^m a ^n.

O cálculo das forças complexos é facilitada pela conversão da base para uma forma polar, tal como descrito em detalhe abaixo .

Raízes complexas de unidade

Uma série complexa de um tal modo que a ⁿ = 1, por um número inteiro positivo n é um n-ésimo raiz da unidade. Geometricamente, o n º raízes da unidade mentira no círculo unitário do plano complexo nos vértices de um n-gon regular com um vértice sobre o real número 1.

Se z ⁿ = 1, mas z ^k ≠ 1 para todos os números naturais k tal que 0 <k <n, então z é chamada de n º primitivo raiz da unidade. A unidade negativo -1 é a única raiz quadrada primitiva da unidade. A unidade imaginária i é uma das duas primitivas 4-th raízes da unidade; o outro é - i.

O número de e ^{πi 2 (1 / n)} é o n ° raiz primitiva de união positiva com o menor argumento complexo. (Ele é às vezes chamado o principal n º raiz da unidade, embora essa terminologia não é universal e não deve ser confundido com o valor principal de ⁿ √ 1, que é 1.)

Os outros n º raízes da unidade são dadas por

para 2 ≤ k ≤ n.

Raízes de números complexos arbitrários

Embora haja um número infinito de possíveis valores para um logaritmo complexo geral, existem apenas um número finito de valores para a fonte de um ^Z, no caso especial importante onde z = 1 / n e n é um número inteiro positivo. Estes são o n-ésimo raízes de uma; eles são soluções da equação x ⁿ = a. Tal como acontece com raízes reais, uma segunda raiz também é chamado de raiz quadrada e uma terceira raiz também é chamado de raiz cúbica.

É convencional em matemática para definir a ^{1 / n} como o principal valor da raiz. Se a é um número real positivo, também é convencional para seleccionar um número real positivo como o valor principal da raiz ^{de 1 / N.} Para números complexos gerais, o n º raiz com o menor argumento é muitas vezes escolhido como o principal valor do n º operação de raiz, como com principais valores de raízes da unidade.

O conjunto de n º raízes de um número complexo um é obtido pela multiplicação do valor do principal a ^{1 / n} por cada um dos n º raízes da unidade. Por exemplo, as raízes de quarto 16 são 2, -2, 2, i, i e -2, porque o valor principal da raiz de quarta 16 é 2 e os quarto raízes da unidade são 1, -1, i, e - i.

Calculando potências complexas

Muitas vezes, é mais fácil de calcular potências complexas, escrevendo o número a ser exponenciadas em forma polar . Todo número complexo z pode ser escrita na forma polar

em que r é um número real não-negativo e θ é o (real) argumento de z. O argumento, como o logaritmo complexo, tem muitas possíveis valores para cada um de Z e assim corte filial é usado para escolher um valor específico. A forma polar tem uma interpretação geométrica simples: se um número complexo u + iv é pensado como representando um ponto (u, v) no plano complexo usando coordenadas cartesianas , então (r, θ) é o mesmo ponto em coordenadas polares . Isto é, o símbolo r representa o "raio" r ² = u + v ^{2 2} e θ é o "ângulo" θ = ATAN2 (v, u). O corte ramo corresponde à noção de que um θ ângulo polar é ambígua, uma vez que qualquer múltiplo de 2π poderia ser adicionado ao θ sem alterar a localização do ponto. O valor do principal (o corte ramo mais comum), como mencionado acima, corresponde a θ escolhido no intervalo (-π, π].

A fim de calcular o poder complexo ^b, escrever um na forma polar:

.

Em seguida

e assim

Se b é decomposto como di c +, em seguida, a fórmula para um ^b pode ser escrita de forma mais explícita como

Esta fórmula final permite poderes complexos para ser computado facilmente de decomposições de a base em forma polar eo expoente em forma cartesiana. Mostra-se aqui tanto na forma polar e em forma cartesiana (via identidade de Euler).

Os exemplos a seguir usam o valor do principal, o corte filial que faz com que θ para estar no intervalo (-π, π] Para calcular i ^i, i escrever em formas polares e cartesianas.:

Em seguida, na fórmula acima, com r = 1, θ = π / 2, C = 0, e d = 1, rendimento:

Da mesma forma, para encontrar (-2) ^{3 + 4 i,} calcular a forma polar de -2,

e usar a fórmula acima para calcular

O valor de uma fonte de complexo depende do ramo utilizado. Por exemplo, se a forma polar i = 1 e ^{i (5π / 2)} é usado para calcular ⁱ i, a energia é para ser encontrada e ^{-5π / 2;} o principal valor de i ^i, calculado acima, é e ^{-π / 2.}

Falha de energia de identidades e de logaritmos

Identidades para poderes e logaritmos que detêm para números reais positivos podem falhar quando os números reais positivos são substituídas por números complexos arbitrários. Não existe um método para definir competências complexas ou o logaritmo complexo como funções com valor de complexas enquanto preserva as identidades essas operações possuem os números reais positivos.

Um exemplo envolvendo logaritmos diz respeito a regra log (a ^b) = b · um log, que contém sempre que a é um número real positivo e b é um número real. O cálculo a seguir mostra que essa identidade não se sustenta em geral para o valor principal do logaritmo complexo quando um não é um número positivo real:

Independentemente de qual ramo do logaritmo é usado, uma falha semelhante da identidade sempre vai existir.

Um exemplo envolvendo regras para a energia diz respeito às identidades

Estas identidades são válidas quando a e b são números reais positivos e c é um número real. Mas um cálculo utilizando valores principais que mostra

e

Estes exemplos ilustram que os poderes e logaritmos complexos não se comportam da mesma forma que suas contrapartes reais, e por isso é necessária precaução quando se trabalha com as versões complexas dessas operações.

Zero à potência zero

Lote de z = abs (x ^y), com diferentes curvas (vermelho) que mostram como ⁰ 0 pode avaliar a valores diferentes. As curvas verdes têm um limite de 1.

A avaliação de 0 ⁰ apresenta um problema, porque o raciocínio matemático diferentes conduz a resultados diferentes. A melhor escolha para o seu valor depende do contexto. De acordo com Benson (1999), "A escolha se para definir 0 ⁰ baseia-se na conveniência, e não na exactidão." Existem dois principais tratamentos na prática, a partir de uma matemática discreta e a outra a partir da análise.

Em muitos locais, especialmente em fundações e combinatória, ⁰ 0 é definido como 1. Esta definição surge em tratamentos fundamentais dos números naturais como cardeais finitos , e é útil para encurtar identidades combinatórias e remoção de casos especiais de teoremas, como ilustrado abaixo. Em muitas outras configurações, ⁰ 0 é deixado indefinido. No cálculo , é um 0 ⁰ forma indeterminada, a qual deve ser analisada em vez de avaliadas. Em geral, a análise matemática trata 0 ⁰ quanto indeterminado, a fim de que a função exponencial ser contínua.

Justificativas para a definição ⁰ 0 = 1 incluem:

• Quando 0 ⁰ é considerado como um produto vazio de zeros, o seu valor é 1.
• A interpretação combinatória de 0 ⁰ é o número de tuplas vazias de elementos do conjunto vazio. Há exatamente um vazio tupla.
• Equivalentemente, a interpretação set-theoretic de 0 ⁰ é o número de funções a partir do conjunto vazio para o conjunto vazio. Existe exactamente uma tal função, o função vazia.
• Ele simplifica muito a teoria de polinômios e série de potência que um termo constante pode ser escrita para um machado ⁰ x arbitrário. Por exemplo:
  • A fórmula para os coeficientes em um produto de polinômios perderia muito de sua simplicidade se os termos constantes tiveram de ser tratados de maneira especial.
  • Uma série de potências como não é válida para x = 0 ⁰ 0 a menos, que aparece no numerador do primeiro termo da série, é 1. Caso contrário, seria preciso usar a identidade mais .
  • O teorema binomial não é válida para x = 0, a menos que 0 ⁰ = 1. Ao definir 0 ⁰ a ser 1, um caso especial do teorema pode ser eliminado.
• Em cálculo diferencial, o regra de energia não é válida para n = 1 a x = 0, a menos que 0 ⁰ = 1. Definindo desta forma elimina a necessidade de um processo especial para a regra de alimentação.

Em contextos onde o expoente podem variar continuamente, é geralmente melhor tratá ⁰ 0 como uma quantidade mal definido. Justificativas para tratá-la como indefinido incluem:

• O valor ⁰ 0 surge muitas vezes como o limite formal das funções exponenciadas, f (x) ^{g (x),} quando f (x) e g (x) como abordagem 0 x se aproxima de um (a constante ou infinito). Há, 0 ⁰ sugere [Lim f (x)] ^{lim g (x),} que é uma quantidade bem definida e é o valor correto de lim f (x) ^{g (x)} quando f e g abordagem constantes diferentes de zero, mas não está bem definida quando abordagem f e g 0. O mesmo raciocínio se aplica a certos poderes que envolvem o infinito , e . Uma maneira mais abstrata de dizer isto é o seguinte: A função real x ^y das duas variáveis reais não negativos x e y não é contínua no ponto (x, y) = (0, 0), e assim por 0 ⁰ não é determinada pela continuidade. Isto é, a função de ^x-y tem nenhuma extensão contínua do primeiro quadrante aberto para incluir o ponto (0,0). A regra no cálculo, que sempre que ambos os lados da equação são definidos, seria um fracasso se 0 ⁰ foram definidos.
• A função de ^z z, visto como uma função de um número complexo e variável Z definido como ^log e ^{z z} é indefinido em z = 0 porque o log z é indefinido em z = 0. Além disso, porque ^z z tem um logarítmica ponto de ramificação em z = 0, não é comum para estender o domínio de z ^z para a origem neste contexto.

Tratamento em linguagens de programação

As linguagens de programação de computador que avaliam ⁰ 0 1 incluem-se J, Java , Python , Ruby, Haskell, ML, Scheme, MATLAB, e calculadora Microsoft Windows ".

Simplifica bordo de ⁰ a 1 e ^um 0 a 0, mesmo se não há restrições são colocados em um, e avalia 0 ^0-1.

Pesquisa do Google quando utilizado para a sua função de calculadora avalia 0 ^0-1.

Mathematica simplifica de ⁰ a 1, mesmo que não há restrições são colocados em um. Não simplificar 0 ^um, e leva 0 ⁰ para ser uma forma indeterminada.

No .NET Framework, o método System.Math.Pow trata 0 ⁰ para ser um.

Powers com o infinito

Expressões exponenciais envolvendo o infinito pode ser pensado como generalizações de tipos mais familiares de exponenciação, mas existem pelo menos dois tipos nitidamente distintos de generalização para o caso infinito. Por um lado, há a combinatória interpretação teórica ou definido; veja exponenciação dos números cardinais .

Por outro lado, pode-se encontrar tais como expressões e provenientes de análise pela mesma razão como 0 ^0, e eles são indefinidos, pela mesma razão. Isto é, se é verdade que (lim f (x)) ^{lim g (x)} = lim f (x) ^{g (x)} diferente de zero quando constantes finitos F e G de aproximação, mas não quando se aproximam 0 ou infinito; em seguida, o limite da potência pode ser qualquer coisa, não previsível a partir dos limites de f e g.

Faz sentido dizer que Se este é simplesmente interpretado como uma abreviatura para o teorema que se f e g ambos abordagem infinito quando x tende a um, em seguida, lim f (x) ^{g (x)} também é infinita. (Da mesma forma, , , Etc)

Eficientemente um poder de computação

O método mais simples de calcular a ⁿ requer operações de multiplicação n -1, mas pode ser calculado de forma mais eficiente tal como ilustrado pelo seguinte exemplo. Para computar 2 ^100, note que 100 = 96 + 4 e 96 = 3 * 32. Calcule o seguinte na ordem:

2 ² 4 =

(2 ^{2) 2} = 2 ⁴ = 16

(2 ^{4) 2} = 2 = ⁸ 256

(2 ^{8) 2} = 2 ¹⁶ = 65.536

(2 ^{16) 2} = 2 ³² = 4294967296

2 ³² 2 ³² 2 ³² 2 ⁴ = 2 ¹⁰⁰

Esta série de passos requer apenas oito operações de multiplicação, em vez de 99.

Em geral, o número de operações de multiplicação necessários para calcular um ⁿ pode ser reduzida a Θ (log n) usando exponenciação por quadratura ou (mais geralmente) exponenciação adição de cadeia. Encontrar a sequência mínima de multiplicações (a cadeia de adição mínima de comprimento para o expoente) para um ⁿ seja um problema difícil para os quais não há algoritmos eficientes são actualmente conhecidos, mas muitos algoritmos heurísticos razoavelmente eficientes estão disponíveis.

Notação exponencial para nomes de função

Colocar um sobrescrito inteiro após o nome ou o símbolo de uma função, como se a função foram sendo elevado a uma potência, geralmente refere-se a repetir composição de função , em vez de multiplicação repetida. Assim f ³ (x) pode significar F (f (f (x))); em particular, f ^-1 (x) geralmente designa a função inversa de f.

No entanto, por razões históricas, uma sintaxe especial aplica-se às funções trigonométricas : um expoente positivo aplicado a abreviatura da função significa que o resultado é elevado para que o poder, enquanto um expoente -1 denota a função inversa. Ou seja, o pecado ² x é apenas uma forma abreviada de escrever (sin x) ² sem o uso de parênteses, ao passo que o pecado ^-1 x refere-se à função inversa da seno, também chamado arcsin x. Não há necessidade de uma simplificação para os recíprocos de funções trigonométricas, pois cada tem seu próprio nome e sigla, por exemplo, 1 / sin (x) = (sin x) ^-1 é csc x. Uma convenção semelhante aplica-se aos logaritmos, onde log ² (x) = (log (x)) ^2, e não há abreviatura comum para o registo (log (x)).

Generalizações de exponenciação

Exponenciação em álgebra abstrata

Exponenciação para expoentes inteiros podem ser definidas para estruturas bastante gerais emálgebra abstrata.

Deixe X ser um conjunto com um poder associativo operação binária, o que vamos escrever multiplicatively. Nesta situação muito geral, podemos definir x ⁿ para qualquer elemento x de X e qualquer diferente de zero número natural n , simplesmente multiplicando x por si só n vezes; por definição, poder associatividade significa que não importa em qual ordem que executar as multiplicações.

Agora, adicionalmente, suponhamos que a operação tem um elemento de identidade 1. Em seguida, pode-se definir x ⁰ ser igual a 1 para qualquer x . Agora X ⁿ é definido por qualquer número natural n , incluindo 0.

Finalmente, suponhamos que a operação tem inversos, e que a multiplicação é associativa (de modo que o magma é um grupo ). Em seguida, pode-se definir x ^-n ser o inverso de x ⁿ quando n é um número natural. Agora X ⁿ é definido para qualquer número inteiro n e qualquer x no grupo.

Exponenciação neste sentido puramente algébrica satisfaz as seguintes leis (sempre que ambos os lados são definidos):

Aqui, utilizamos uma divisão de barra ("/") para indicar multiplicando por uma inversa, a fim de reservar o símbolo x ^-1 para elevar x à potência -1, ao invés de o inverso de x . No entanto, como um dos estados acima leis, X ^-1 é sempre igual ao inverso de x , de modo a notação não importa no final.

Se, além disso a operação de multiplicação écomutativa(de modo que o conjuntoXé umgrupo abeliano), então nós temos algumas leis complementares:

• (xy)ⁿ=xⁿyⁿ
• (x/y)ⁿ=xⁿ/yⁿ

Se tomarmos toda esta teoria de exponenciação em um contexto algébrica, mas escrever a operação binária aditiva, "multiplicação exponenciação é repetido", em seguida, pode ser reinterpretado como " multiplicação é repetido disso ". Assim, cada uma das leis da exponenciação acima tem um análogo entre as leis de multiplicação.

Quando se tem em torno de várias operações, qualquer um dos quais pode ser repetido utilizando exponenciação, é comum para indicar que a operação está a ser repetido, colocando o seu símbolo no sobrescrito. Assim, x ^*n é x * ··· * x , enquanto x ^#n é x ··· # # x , o que quer que as operações * e # podem ser.

Notação Superscript também é utilizado, especialmente na teoria dos grupos , para indicar a conjugação. Isto é, g ^h = h ^-1 GH , onde g e h são elementos de algum grupo . Embora a conjugação obedece a algumas das mesmas leis que exponenciação, não é um exemplo de multiplicação repetida em qualquer sentido. A quandle é uma estrutura algébrica em que essas leis da conjugação desempenham um papel central.

Exponenciação sobre conjuntos

Se n é um número natural e A é um conjunto arbitrário, a expressão Um ⁿ é muitas vezes utilizado para designar o conjunto de ordenadas n -tuples de elementos de Uma . Isto é equivalente a deixar um ⁿ denotar o conjunto de funções do conjunto {0, 1, 2, ..., n -1} para o conjunto A ; o n -tuple ( um ₀ , um ₁ , um ₂ , ..., a _n-1 ) representa a função que envia i parum a _Eu .

Por um infinito número cardinal κ e um conjunto A , a notação A ^κ também é utilizada para designar o conjunto de todas as funções a partir de um conjunto de κ tamanho para A . Isso às vezes é escrito ^κ Um para distingui-lo de exponenciação cardeal, definido abaixo.

Este exponencial generalizada também pode ser definida para as operações em conjuntos ou para conjuntos com adicional estrutura. Por exemplo, em álgebra linear , faz sentido para indexar somas diretas de espaços vetoriais sobre conjuntos índice arbitrário. Ou seja, podemos falar de

em que cada V _Eu é um espaço vectorial. Então, se V _Eu = V para cada i , a soma direta resultante pode ser escrito em notação exponencial como V ^(+)N , ou simplesmente V ^N com o entendimento de que a soma direta é o padrão. Podemos novamente substituir o conjunto N com um número cardinal n para obter V ⁿ , embora sem escolher um padrão específico definido com cardinalidade n , este é definido apenas a menos de isomorfismo. Tomando V para ser o campo R de números reais (pensado como um espaço vetorial sobre si mesmo) e n ser algum número natural , temos o espaço vetorial que é mais comumente estudadas em álgebra linear, o espaço euclidiano R ⁿ .

Se a base da operação de exponenciação é um conjunto, a operação de exponenciação é o produto cartesiano, a menos que indicado de outra forma. Desde vários produtos cartesianos produzir um n - tupla, que pode ser representado por uma função em um conjunto de cardinalidade adequado, S ^N torna-se simplesmente o conjunto de todas as funções a partir de N a S , neste caso:

Isso se encaixa com a exponenciação dos números cardinais, no sentido de que | S ^N | = | S | ^|N| , onde | X | é a cardinalidade de X . Quando N = 2 = {0,1}, temos | 2 ^X | = 2 ^|X| , onde 2 ^X , geralmente denotado por P X , é o conjunto de potência X ; cada subconjunto Y de X corresponde exclusivamente a uma função no X que toma o valor 1 para x ∈ Y e 0 para x ∉ Y .

Exponenciação na teoria da categoria

Em um Cartesiano categoria fechada, a operação exponencial pode ser usado para levantar um objeto arbitrário ao poder de outro objeto. Este generaliza o produto cartesiano na categoria de conjuntos.

Exponenciação dos números cardinais e ordinais

Nateoria dos conjuntos, há operações exponenciais paracardinaleordinalnúmeros.

Se κ e λ são números cardinais, a expressão κ ^λ representa a cardinalidade do conjunto de funções a partir de qualquer conjunto de cardinalidade λ para qualquer conjunto de cardinalidade κ. Se κ e λ são finitos, então este concorda com a operação exponencial comum. Por exemplo, o conjunto de 3-tuplas de elementos de um conjunto de 2 elemento tem cardinalidade 8.

Exponenciação dos números cardinais é distinto de exponenciação de números ordinais , que é definido por um limite de processo. Nos números ordinais, a exponenciação é definida por indução transfinita. Para ordinais α e β, a α exponencial ^β é o supremo do produto ordinal ct ^γ ct sobre toda γ <β.

Exponenciação repetido

Assim como exponenciação dos números naturais é motivado por multiplicação repetida, é possível definir uma operação baseada na exponenciação repetido; esta operação é às vezes chamado tetration. A iteração tetration leva a uma outra operação, e assim por diante. Esta sequência de operações é capturado pela função de Ackermann.

Exponenciação em linguagens de programação

O sobrescrito notação x ^y é conveniente na escrita, mas inconveniente para máquinas de escrever e terminais de computador que se alinham as linhas de base de todos os caracteres em cada linha. Muitas linguagens de programação têm formas alternativas para expressar a exponenciação que não use sobrescritos:

• x ↑ y:Algol,Commodore BASIC
• x ^ y:BASIC, J, Matlab, R, Excel Microsoft,TeX(e seus derivados),Haskell (para expoentes inteiros), ea maioria dossistemas de álgebra computacional
• x ** y: Ada, Bash, Fortran, FoxPro,Perl,Python, Ruby, SAS,ABAP, Haskell (por expoentes de ponto flutuante),Turing
• x * y:APL
• Potência (x, y): Microsoft Excel, Delphi / Pascal (declarado em "Math" -unit)
• POW (x, y):C,C ++, PHP
• Math.pow (x, y):Java, JavaScript, Modula-3
• Math.pow (x, y): C #
• (Expt xy):Common Lisp,Scheme

Em Bash, C, C ++, C #, Java, JavaScript, PHP e Python, o símbolo ^ representa bit a bit XOR. Em Pascal, representa engano.

História da notação

O termo poder foi usado por Euclides para a praça de uma linha. Nicolas Chuquet usado uma forma de notação exponencial no século 15, que foi usado mais tarde por Henricus grammateus e Michael Stifel. Samuel Jeake introduziu o termo índices em 1696. No século 16 Robert Recorde usado os termos quadrado, cubo, zenzizenzic (quarto poder), surfolide (quinto), zenzicube (sexto), segundo surfolide (sétimo) e Zenzizenzizenzic (oitavo).

Outra sinônimo histórico,involução, é agora rara e não deve ser confundido como seu significado mais comum.