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?lgebra

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A álgebra é um ramo da matemática relativas ao estudo da estrutura , relação e quantidade . O nome é derivado do tratado escrito em árabe pelo Persa matemático, astrônomo, astrólogo e geógrafo, Muhammad bin Musa al-Khwarizmi intitulado Kitab al-Jabr wa-l-muqabala (que significa " O Livro Compendious sobre Cálculo de Conclusão e Balanceamento "), que forneceu as operações simbólicas para a solução sistemática de linear e equações de segundo grau .

Juntamente com a geometria , análise , análise combinatória e teoria dos números , álgebra é um dos principais ramos da matemática . álgebra elementar é muitas vezes parte do currículo no ensino secundário e fornece uma introdução às ideias básicas da álgebra, incluindo efeitos da adição e multiplicação números , o conceito de variáveis, definição de polinômios , juntamente com fatoração e determinar a sua raízes.

A álgebra é muito mais ampla do que a álgebra elementar e pode ser generalizada. Além de trabalhar diretamente com os números, álgebra abrange trabalhar com símbolos, variáveis, e conjunto elementos. Adição e multiplicação são vistos como geral operações, e suas definições precisas levar a estruturas como grupos , anéis e campos.

Classificação

?lgebra pode ser dividido mais ou menos nas seguintes categorias:

  • ?lgebra elementar , em que as propriedades de operações no sistema de números reais são registradas através de símbolos como "lugar titulares" para denotar constantes e variáveis e as regras que regem expressões matemáticas e equações que envolvem esses símbolos são estudados (note que este geralmente inclui o tema de cursos chamados de álgebra intermediário e álgebra faculdade), também chamado de segundo ano e terceiro ano de álgebra;
  • ?lgebra abstrata , às vezes também chamado de álgebra moderna, em que estruturas algébricas tais como grupos , anéis e campos são axiomaticamente definido e investigados; isto inclui, entre outras áreas,
  • ?lgebra linear , em que as propriedades específicas de espaços vetoriais são estudados (incluindo matrizes );
  • ?lgebra universal, em que as propriedades comuns a todas as estruturas algébricas são estudados.
  • Teoria dos números algébricos, em que as propriedades dos números são estudados através de sistemas algébricos. A teoria dos números inspirou grande parte da abstração original na álgebra.
  • Geometria Algébrica no seu aspecto algébrico.
  • Combinatória algébricas , nos quais métodos algébricos abstratos são usados para estudar questões combinatórias.

Em algumas indicações de estudos avançados, sistemas algébricos axiomático tais como grupos, anéis, campos e álgebras sobre um campo são investigadas na presença de um geométrico estrutura (a métrica ou uma topologia ) que é compatível com a estrutura algébrica. A lista inclui uma série de áreas de análise funcional:

  • Espaços linear normalizado
  • Espaços de Banach
  • Espaços de Hilbert
  • ?lgebras de Banach
  • ?lgebras normados
  • ?lgebras topológicas
  • Grupos topológicos

?lgebra elementar

?lgebra elementar é a forma mais básica de álgebra. É ensinado aos estudantes que se presume ter nenhum conhecimento de matemática para além dos princípios básicos da aritmética . Na aritmética, apenas números e suas operações aritméticas (como +, -, ×, ÷) ocorrer. Em álgebra, os números são frequentemente designados por símbolos (tais como A, X, ou Y). Isto é útil porque:

  • Ele permite que a formulação geral da leis aritméticas (tais como a + b = b + a para todo a e b), e, portanto, é o primeiro passo para uma exploração sistemática das propriedades do sistema de números reais .
  • Ele permite que a referência aos números de "desconhecidos", a formulação de equações eo estudo de como resolver estes (por exemplo, "Encontrar um número x tal que x 3 + 1 = 10").
  • Ele permite a formulação de funcionais relacionamentos (como "Se você vender x bilhetes, então seu lucro será de 3 x - 10 dólares, ou f (x) = x 3 - 10, onde f é a função, e x é o número ao qual a função é aplicada. ").

Polinômios

Um polinômio é uma expressão que é construída a partir de um ou mais variáveis e constantes, utilizando apenas as operações de adição, subtração, multiplicação e (onde repetiu multiplicação da mesma variável é standardly denotado como exponenciação com um número inteiro expoente positivo constante). Por exemplo, x ^ 2 + 2x -3 \, é um polinômio no único x variável.

Uma importante classe de problemas em álgebra é factorization de polinómios, isto é, que expressa um dado polinomial como um produto de outros polinomiais. O exemplo acima polinomial pode ser contabilizado como (X-1) (x + 3) \, \ !. A classe relacionada de problemas é encontrar expressões algébricas para a raízes de um polinômio em uma única variável.

Abstract álgebra

Abstract álgebra estende os conceitos familiares encontrados em álgebra elementar e aritmética de números para conceitos mais gerais.

Conjuntos: Ao invés de apenas considerar os diferentes tipos de números , abstrato álgebra lida com o conceito mais geral de conjuntos: uma coleção de todos os objetos (chamada elementos) selecionados pela propriedade, específicos para o conjunto. Todas as coleções dos tipos familiares de números são conjuntos. Outros exemplos de conjuntos incluem o conjunto de todos os dois-por-dois matrizes , o conjunto de todas as de segundo grau polinômios (ax 2 + bx + c), o conjunto de todas as duas dimensões vetores no plano, e os vários grupos finitos, tais como os grupos cíclicos que são o grupo de inteiros módulo n. A teoria dos conjuntos é um ramo da lógica e não tecnicamente um ramo da álgebra.

Operações binárias: A noção de adição (+) é abstraída para dar uma operação binária, * dizer. A noção de operação binária não tem sentido sem o conjunto em que a operação está definida. Por dois elementos A e B em um conjunto S a * b dá outro elemento do conjunto; esta condição é chamada . encerramento adição (+), subtração (-), multiplicação (×) e divisão (÷) podem ser operações binárias, quando definido em diferentes conjuntos, como é adição e multiplicação de matrizes, vetores e polinômios.

Elementos de identidade: os números zero e um são abstraídos para dar a noção de um elemento de identidade para uma operação. Zero é o elemento de identidade para adição e um é o elemento neutro para a multiplicação. Para um operador binário geral * a identidade elemento e deve satisfazer um * e = A e E * a = a. Isso vale para a adição como um + 0 = a 0 e + a = a multiplicação e a × 1 = a 1 × e a = a. No entanto, se tomarmos os números naturais positivos e além disso, não há nenhum elemento de identidade.

Elementos inversos: os números negativos dar origem ao conceito de elementos inversos. Para além disso, o inverso de uma -a é, para a multiplicação e o inverso é 1 / a. Um elemento inverso geral a -1 deve satisfazer a propriedade de que a * a -1 = e e um -1 * A = E.

Associatividade : Adição de números inteiros tem uma propriedade chamada associatividade. Ou seja, o agrupamento dos números a ser adicionada não afecta a soma. Por exemplo: (2 + 3) + 4 + 2 = (3 + 4). Em geral, este torna-se (a * b) * c = a * (b * c). Esta propriedade é compartilhada pela maioria dos operações binárias, mas não subtração ou divisão ou multiplicação octonion.

Comutatividade : Adição de inteiros também tem uma propriedade chamada comutatividade. Isto é, a ordem dos números a ser adicionada não afecta a soma. Por exemplo: 2 + 3 + 2 = 3. Em geral, este torna-se a * b = b * um. Apenas algumas operações binárias têm essa propriedade. Ele vale para os inteiros com adição e multiplicação, mas não vale para a multiplicação de matrizes ou multiplicação quaternion.

Grupos-estruturas de um conjunto com uma única operação binária

Combinando os conceitos acima dá uma das estruturas mais importantes em matemática: um grupo . Um grupo é uma combinação de um conjunto de S e uma única operação binária "*", definido em qualquer maneira que você escolher, mas com as seguintes propriedades:

  • Um elemento de identidade e existe, de tal forma que para cada membro de um S, e * um * e um e são ambos idêntico a um.
  • Cada elemento tem um inverso: para todos os membros de um S, existe um membro de uma tal forma que uma -1 * -1 e uma -1 * A são ambos idênticos ao elemento de identidade.
  • A operação é associativa: se a, b e c são membros de S, então (a * b) * c é idêntico a um * (b * c).

Se um grupo é também conmutativo - isto é, por quaisquer dois membros um de S e b, a * b é igual a b * -, então o grupo é dito ser Abelian.

Por exemplo, o conjunto dos números inteiros no âmbito da operação de adição é um grupo. Neste grupo, o elemento de identidade é 0 e o inverso de qualquer elemento é uma sua negação, - um. O requisito associamento é cumprida, porque para quaisquer inteiros a, b e c, (a + b) + c = a + (b + c)

Os diferentes de zero números racionais formam um grupo sob a multiplicação. Aqui, o elemento de identidade é 1, desde 1 × a = a × 1 = a para qualquer número racional a. O inverso de a é 1 / a, uma vez que uma × 1 / a = 1.

Os inteiros sob a operação de multiplicação, no entanto, não formam um grupo. Isto é porque, em geral, o inverso multiplicativo de um número inteiro não é um número inteiro. Por exemplo, é um número inteiro 4, mas o seu inverso multiplicativo é de 1/4, o que não é um número inteiro.

A teoria dos grupos é estudada em teoria de grupos . Um resultado importante nesta teoria é a classificação dos grupos finitos simples, publicados principalmente entre cerca de 1955 e 1983, que é pensado para classificar toda a finito grupos simples em cerca de 30 tipos básicos.

Exemplos
Set: Números naturais \ Mathbb {N} Inteiros \ Mathbb {Z} Números racionais \ Mathbb {Q} (Também verdadeiro \ Mathbb {R} e complexo \ Mathbb {C} números) Inteiros mod 3: {0,1,2}
Operação + × (w / o zero) + × (w / o zero) + - × (w / o zero) ÷ (w / o zero) + × (w / o zero)
Fechadas Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim
Identidade 0 1 0 1 0 N / D 1 N / D 0 1
Inverso N / D N / D -a N / D -a N / D \ Begin {matrix} \ frac {1} {a} \ end {matrix} N / D 0,2,1, respectivamente NA, 1, 2, respectivamente
Associativo Sim Sim Sim Sim Sim Não Sim Não Sim Sim
Comutativa Sim Sim Sim Sim Sim Não Sim Não Sim Sim
Estrutura monoid monoid Grupo abeliano monoid Grupo abeliano quasigroup Grupo abeliano quasigroup Grupo abeliano Grupo abeliano ( \ Mathbb {Z} _2 )

Semigrupos, quasigroups, e monoids são estruturas semelhantes a grupos, mas mais geral. Eles compreendem um conjunto e uma operação binária fechado, mas não necessariamente satisfazer as outras condições. A semigroup tem uma operação binária associativa, mas pode não ter um elemento de identidade. A monoid é um semigrupo que tem uma identidade, mas pode não ter uma inversa para cada elemento. A quasigroup satisfaz o requisito de que qualquer elemento pode ser transformado em qualquer outro por uma única pré ou pós-operação; no entanto, a operação binária pode não ser associativa. Todos são instância grupóides, estruturas com uma operação binária sobre a qual são impostas há outras condições.

Todos os grupos são monoids, e todos os monoids são semigroups.

Anéis e campos-estruturas de um conjunto com duas operações binárias particulares, (+) e (x)

Grupos só tem uma operação binária. Para explicar totalmente o comportamento dos diferentes tipos de números, estruturas com dois operadores precisam ser estudados. A mais importante delas são anéis, e campos.

Distributividade generalizou a lei distributiva para os números, e especifica a ordem em que os operadores devem ser aplicados, (o chamado precedência). Para os números inteiros (a + b) x c = a + b x c x c e c x (a + b) = C a + c × × b, e x é dito ser distributiva sobre +.

A anel tem duas operações binárias (+) e (x), com mais de distributiva × +. Sob o primeiro operador (+) forma um grupo abeliano. De acordo com o segundo operador (x) é associativo, mas não precisa de ter uma identidade, ou inversa, de modo a divisão não é permitido. O elemento de identidade aditivo (+) é escrito como 0 e o inverso de um aditivo é escrita como: - uma.

Os inteiros são um exemplo de um anel. Os inteiros têm propriedades adicionais que tornam uma domínio integral.

A campo é um anel com a propriedade adicional de que todos os elementos excluindo 0 formam um grupo abeliano sob ×. O (x) de identidade multiplicativo é escrito como um eo inverso multiplicativo de um está escrito como uma -1.

Os números racionais, os números reais e números complexos são exemplos de campos.

Objetos chamados álgebras

A palavra álgebra também é utilizado para vários estruturas algébricas :

  • ?lgebra sobre um campo ou, mais geralmente ?lgebra sobre um anel
  • ?lgebra sobre um conjunto
  • ?lgebra booleana
  • F-álgebra e F-coalgebra em teoria da categoria
  • Sigma-álgebra

História

Uma página do Al-Khwarizmi 's al-Kitab al-muḫtaṣar fī Hisab al-Gabr wa-l-muqabala

As origens da álgebra pode ser rastreada à antiga Babilônios, que desenvolveram um avançado sistema de aritmética com os quais eles foram capazes de fazer cálculos em uma forma algébrica. Com a utilização deste sistema foram capazes de aplicar fórmulas e calcular soluções para valores desconhecidos para uma classe de problemas tipicamente resolvidos hoje, usando equações lineares , equações de segundo grau , e equações lineares indeterminados. Em contraste, a maioria Egípcios desta época, e mais indiano , Grego e Matemáticos chineses no primeiro milénio BC, normalmente resolvido por estas equações geométricas métodos, tais como os descritos na Rhind Papyrus, Sulba Sutras, Elementos de Euclides , e Os Nove Capítulos da Arte Matemática. O trabalho geométrico dos gregos, tipificado no Elements, forneceu a estrutura para generalizar fórmulas para além da solução de problemas específicos em sistemas mais gerais de afirmar e resolução de equações.

Mais tarde, os matemáticos indianos desenvolvido métodos algébricos para um elevado grau de sofisticação. Embora Diofanto e os babilônios usado principalmente métodos ad hoc especiais para resolver equações, Brahmagupta foi o primeiro a resolver equações usando métodos gerais. Ele resolveu as equações indeterminadas lineares, equações de segundo grau, de segunda ordem equações indeterminadas e equações com múltiplas variáveis.

A palavra "álgebra" é nomeado após o árabe palavra "al-jabr" do título do livro al-Kitab al-muḫtaṣar fī Hisab al-Gabr wa-l-muqabala, significando O livro de sumários de Cálculo por Transposição e Redução, um livro escrito pelo Matemático persa Al-Khwarizmi em 820. A palavra Al-Jabr significa "reunião". O matemático helenístico Diofanto tem sido tradicionalmente conhecido como "o pai da álgebra", mas agora existe debate quanto à possibilidade ou não de Al-Khwarizmi deve levar esse título. Aqueles que apoiam ponto Al-Khwarizmi para o fato de que muito do seu trabalho no redução ainda está em uso hoje e que lhe deu uma explicação exaustiva de resolver equações de segundo grau. Aqueles que apoiam Ponto Diofanto ao fato de que a álgebra encontrados em Al-Jabr é mais fundamental do que a álgebra encontrado em Aritmética e que Arithmetica é sincopado enquanto Al-Jabr é totalmente retórica. Outro matemático persa, Omar Khayyam, desenvolvido geometria algébrica e encontrou a solução geométrica geral da equação cúbico. Os matemáticos indianos Mahavira e Bhaskara II, eo matemático chinês Zhu Shijie, resolvido vários casos de cúbico, quartic, quintic e de ordem superior polinomiais equações.

Outro evento chave no desenvolvimento da álgebra foi a solução algébrica geral das equações cúbicas e quárticas, desenvolvido em meados do século 16. A idéia de um determinante foi desenvolvido por Matemático japonês Kowa Seki no século 17, seguido por Gottfried Leibniz dez anos depois, com a finalidade de sistemas de equações lineares simultâneas, em resolver as matrizes . Gabriel Cramer também fez alguns trabalhos sobre as matrizes e determinantes no século 18. Abstract álgebra foi desenvolvido no século 19, inicialmente focando no que hoje é chamado de teoria de Galois , e em questões construtibilidade.

As etapas do desenvolvimento da álgebra simbólica são mais ou menos da seguinte forma:

  • ?lgebra retórico, que foi desenvolvido pelos babilônios e permaneceu dominante até o século 16;
  • ?lgebra geométrica construtiva, que foi enfatizado pelo Védicos matemáticos gregos e indianos clássicos;
  • Sincopado álgebra, como desenvolvido pela Diofanto, Brahmagupta eo Bakhshali Manuscrito; e
  • ?lgebra simbólica, que foi iniciada por Abu al-Hasan ibn Ali al-Qalasādī e vê o seu ápice na obra de Gottfried Leibniz .
Capa da edição 1621 da Aritmética de Diofanto, traduzido em latim por Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Uma linha do tempo da evolução algébricas-chave são as seguintes:

  • Por volta de 1800 aC: O Old babilônico Strassburg tablet busca a solução de uma equação quadrática elíptica.
  • Por volta de 1600 aC: O Plimpton 322 tablet dá uma tabela de Trios pitagóricos em babilônico Escrita cuneiforme.
  • Por volta de 800 aC: o matemático indiano Baudhayana, em sua Baudhayana Sulba Sutra, descobre trios pitagóricos algebricamente, encontra soluções geométricas das equações lineares e equações de segundo grau do machado formas 2 = C e ax 2 + bx = c, e encontra dois conjuntos de soluções positivas para um conjunto de simultânea Equações diofantinas.
  • Por volta de 600 aC: o matemático indiano Apastamba, em sua Apastamba Sulba Sutra, resolve a equação linear geral e utiliza equações diofantinas simultâneas com até cinco incógnitas.
  • Por volta de 300 aC: No Livro II dos seus Elementos, Euclides dá uma construção geométrica com ferramentas euclidianas para a solução da equação quadrática para as raízes reais positivos. A construção deve-se à Escola Pitagórica da geometria.
  • Por volta de 300 aC: A construção geométrica para a solução do cúbica é procurado (duplicando o problema cubo). É agora bem conhecido que o cúbico geral não tem essa solução usando ferramentas Euclidiana .
  • Por volta de 100 aC: equações algébricas são tratados no livro matemática chinesa Jiuzhang suanshu (Os Nove Capítulos da Arte Matemática), que contém soluções de equações lineares resolvido usando o Estado de dupla posição falsa, soluções geométricas das equações de segundo grau, e as soluções de matrizes equivalentes ao método moderno, para resolver sistemas de equações lineares.
  • Por volta de 100 aC: O Bakhshali Manuscrito escrito em ?ndia antiga utiliza uma forma de notação algébrica usando as letras do alfabeto e outros sinais, e contém equações cúbicas e quárticas, soluções algébricas de equações lineares com até cinco incógnitas, a fórmula algébrica geral para a equação quadrática, e soluções de equações indeterminadas e de equações simultâneas.
  • Por volta de 150 dC: Heron de Alexandria trata equações algébricas em três volumes de matemática.
  • Cerca de 200: Diofanto, que viveu no Egito e é muitas vezes considerado o "pai da álgebra", escreve seu famoso Aritmética, um trabalho com soluções de equações algébricas e sobre a teoria dos números.
  • 499: o matemático indiano Aryabhata, em seu tratado Aryabhatiya, obtém soluções de números inteiros para equações lineares por um método equivalente ao moderno, descreve a solução integral geral da equação linear indeterminado e dá soluções de equações lineares simultâneas indeterminados.
  • Cerca de 625: matemático chinês Wang Xiaotong encontra soluções numéricas de equações cúbicas.
  • 628: o matemático indiano Brahmagupta, em seu tratado Brahma Cuspe Siddhanta, inventa o chakravala método de resolver equações de segundo grau indeterminados, incluindo A equação de Pell, e dá regras para a resolução de equações linear e quadrática.
  • 820: A palavra é derivada da álgebra operações descritas no tratado escrito pelo Matemático persa Muhammad ibn Musa al-Ḵwārizmī intitulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-muqabala (que significa "O Livro Compendious sobre Cálculo de Conclusão e balanceamento") na solução sistemática de linear e equações de segundo grau . Al-Khwarizmi é muitas vezes considerado como o "pai da álgebra", grande parte cujas obras sobre a redução foi incluído no livro e adicionado a muitos métodos que temos na álgebra agora.
  • Cerca de 850: Matemático persa al-Mahani concebeu a idéia de reduzir problemas geométricos, tais como duplicação do cubo para os problemas de álgebra.
  • Cerca de 850: matemático indiano Mahavira resolve várias equações de segundo grau, cúbicos, quárticas, quintic e de ordem superior, bem como quadrática indeterminado, equações cúbicas e de ordem superior.
  • Cerca de 990: Persa Abu Bakr al-Karaji, em seu tratado al-Fakhri, desenvolve álgebra, alargando a metodologia de Al-Khwarizmi para incorporar poderes integrais e raízes integrantes de quantidades desconhecidas. Ele substitui operações geométricas da álgebra com operações aritméticas modernos, e define o monomios x, x 2, x 3, ... e 1 / x, 1 / x 2, 1 / x 3, ... e dá regras para os produtos de quaisquer dois destes.
  • Circa 1050: matemático chinês Jia Xian encontra soluções numéricas de equações polinomiais.
  • 1072: Matemático persa Omar Khayyam desenvolve geometria algébrica e, no Tratado sobre a Demonstração de Problemas de ?lgebra, dá uma classificação completa de equações cúbicos com soluções geométricas gerais encontrados por meio de interseção seções cônicas.
  • 1114: o matemático indiano Bhaskara, em sua Bijaganita (?lgebra), reconhece que um número positivo tem tanto um positivo e negativo raiz quadrada , e resolve várias equações polinomiais cúbicos, quartic e de ordem superior, bem como a equação quadrática indeterminant geral.
  • 1202: ?lgebra é introduzido para a Europa , em grande parte através do trabalho de Leonardo Fibonacci de Pisa em seu trabalho Liber Abaci.
  • Circa 1300: matemático chinês Zhu Shijie lida com álgebra polinomial, resolve equações, equações simultâneas e equações com até quatro incógnitas, e numericamente resolve alguns quartic, quintic e de ordem superior equações polinomiais.
  • Circa 1400: o matemático indiano Madhava de Sangamagramma encontra métodos iterativos para solução aproximada de equações não-lineares.
  • Circa 1450: matemático árabe Abu al-Hasan ibn Ali al-Qalasādī levou "os primeiros passos para a introdução de simbolismo algébrico. "Ele representou símbolos matemáticos usando personagens do Alfabeto árabe.
  • 1535: Nicolo Fontana Tartaglia e outros matemáticos em Itália resolvido de forma independente a equação cúbica geral.
  • 1545: Girolamo Cardano publica Ars magna - A grande arte que dá a solução de Fontana com a equação quártica geral.
  • 1572: Rafael Bombelli reconhece as raízes complexas do cúbica e melhora a notação atual.
  • 1591: Francois Viète desenvolve uma melhor notação simbólica para vários poderes de um desconhecido e usa vogais e consoantes para incógnitas para constantes em artem Em analyticam Isagoge.
  • 1631: Thomas Harriot em uma publicação póstuma usa a notação exponencial e é o primeiro a usar símbolos para indicar "menos do que" e "maior que".
  • 1682: Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolve sua noção de manipulação simbólica com regras formais que ele chama de characteristica generalis.
  • 1680: matemático japonês Kowa Seki, em seu método de resolver os problemas dissimuladas, descobre o determinante , e Números de Bernoulli.
  • 1750: Gabriel Cramer, em seu tratado Introdução à análise de curvas algébricas, afirma Regra e estudos de Cramer algébrica curvas, matrizes e determinantes.
  • 1824: Niels Henrik Abel provou que a equação geral do quinto grau é insolúvel por radicais.
  • 1832: teoria de Galois é desenvolvido por Evariste Galois em seu trabalho em álgebra abstrata.
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