Geometria
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Geometry ( grego γεωμετρία; geo = terra, metria = medida) é uma parte da matemática preocupados com questões de tamanho, forma e posição relativa de figuras e com as propriedades do espaço. A geometria é uma das ciências mais antigas. Inicialmente um conjunto de conhecimentos práticos sobre comprimentos, áreas e volumes , no século III aC, geometria foi colocado em um forma axiomática por Euclides , cujo tratamento - a geometria euclidiana - estabeleceu um padrão para muitos séculos a seguir. O campo da astronomia , especialmente mapear as posições das estrelas e dos planetas na esfera celeste, serviu como uma importante fonte de problemas geométricos durante os próximos milénios uma hora e meia.
Introdução de coordenadas por René Descartes eo desenvolvimento simultâneo de álgebra marcou uma nova etapa para a geometria, desde figuras geométricas, como curvas planas, agora podia ser representada analiticamente , ou seja, com funções e equações. Esta desempenhou um papel fundamental no surgimento de cálculo no século XVII. Além disso, a teoria de perspectiva mostrou que não há mais a geometria do que apenas as propriedades métricas de figuras. O objecto de geometria foi adicionalmente enriquecido por o estudo da estrutura intrínseca de objectos geométricos que originaram com Euler e Gauss e levaram à criação de topologia e geometria diferencial .
Desde a descoberta do século XIX de geometria não-euclideana, o conceito de espaço passou por uma transformação radical. Geometria contemporânea considera manifolds , espaços que são consideravelmente mais abstrato do que o familiar espaço euclidiano , que apenas cerca de assemelhar-se em pequenas escalas. Estes espaços podem ser dotado de uma estrutura adicional, permitindo que se possa falar de comprimento. Geometria moderna tem múltiplos laços fortes com a física , exemplificados pelos laços entre Geometria Riemanniana e relatividade geral . Uma das mais novas teorias físicas, a teoria das cordas , também é muito geométrico em sabor.
A natureza visual de geometria torna inicialmente mais acessível do que outras partes da matemática, como a álgebra ou teoria dos números . No entanto, a linguagem geométrica é também utilizado em contextos que são distantes da sua, proveniência euclidiana tradicional, por exemplo, em geometria fractal , e especialmente em geometria algébrica.
História da geometria
Os começos gravados mais antigo da geometria pode ser atribuída a antiga Mesopotâmia , Egito , eo Vale do Indus de todo 3000 aC. Geometria primitiva era uma coleção de princípios empiricamente descobertos relativa comprimentos, ângulos, áreas e volumes, que foram desenvolvidos para atender alguma necessidade prática em agrimensura, construção, astronomia , e vários ofícios. Os primeiros textos conhecidos sobre geometria são o Egípcio Rhind Papyrus e Moscou Papyrus, o Tabuletas de argila da Babilônia, ea indiana Shulba Sutras, enquanto os chineses tinham o trabalho de Mozi, Zhang Heng, ea Nove Capítulos da Arte Matemática, editada por Liu Hui.
De Euclides The Elements of Geometry (c. 300 aC) foi um dos primeiros textos mais importantes na geometria, na qual ele apresentou a geometria em um ideal forma axiomática, que veio a ser conhecido como a geometria euclidiana . O tratado não é, como às vezes se pensa, um compêndio de tudo o que Matemáticos helênicos sabia sobre geometria naquela época; ao contrário, é uma introdução elementar a ele; Euclid mesmo escreveu oito livros mais avançados sobre a geometria. Sabemos de outras referências que Euclides não foi o primeiro livro geometria elementar, mas os outros caíram em desuso e foram perdidos.
Na Idade Média , Matemáticos muçulmanos contribuiu para o desenvolvimento da geometria, especialmente geometria algébrica e álgebra geométrica. Al-Mahani (b. 853) concebeu a idéia de reduzir problemas geométricos tais como a duplicação do cubo para problemas em álgebra . Thabit ibn Qurra (conhecido como Thebit em latim ) (836-901) lidou com aritméticas aplicadas a operações proporções de quantidades geométricas, e contribui para o desenvolvimento da geometria analítica . Omar Khayyam (1048-1131) encontrou soluções geométricas equações cúbicas, e seus extensos estudos da postulado paralelo contribuiu para o desenvolvimento de Geometria não-euclidiana.
No início do século 17, havia dois importantes desenvolvimentos na geometria. A primeira, e mais importante, foi a criação de geometria analítica , geometria ou com coordena e equações , por René Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665). Este foi um precursor necessário para o desenvolvimento de cálculo e uma ciência quantitativa precisa de física . O segundo desenvolvimento geométrico deste período foi o estudo sistemático da geometria projetiva por Girard Desargues (1591-1661). Geometria projectiva é o estudo da geometria sem medição, apenas o estudo de como os pontos de alinhamento umas com as outras.
Dois desenvolvimentos na geometria no século XIX mudou a maneira que tinha sido estudada anteriormente. Estes foram a descoberta de geometrias não-euclidianas por Lobachevsky, Bolyai e Gauss e da formulação de simetria como a consideração central na Programa de Erlangen Felix Klein (que generalizou o euclidiana e geometrias não euclidianas). Dois dos geômetras mestres da época eram Bernhard Riemann , trabalhando principalmente com as ferramentas de análise matemática , e introduzindo a superfície de Riemann , e Henri Poincaré, o fundador da topologia algébrica ea teoria geométrica de sistemas dinâmicos.
Como consequência destas mudanças importantes na concepção de geometria, o conceito de "espaço" se tornou algo rico e variado, eo fundo natural para as teorias tão diferentes como análise complexa e mecânica clássica . O tipo tradicional de geometria foi reconhecido como o da espaços homogêneos, os espaços que têm uma oferta suficiente de simetria, de modo que a partir de um ponto a outro olham apenas o mesmo.
O que é a geometria?
Gravado desenvolvimento da geometria se estende por mais de dois milênios. Não é de surpreender que as percepções de que constituía geometria evoluiu ao longo dos tempos. Os paradigmas geométricas apresentadas a seguir devem ser vistos como ' Quadros de uma Exposição "de uma espécie: eles não esgotam o assunto da geometria, mas sim refletir alguns de seus temas que definem.
Geometria prática
Há pouca dúvida de que a geometria originou-se como uma ciência prática, preocupado com a realização de levantamentos, medições, áreas e volumes. Entre as realizações notáveis encontram-se fórmulas para comprimentos, áreas e volumes , tais como Pitágoras teorema , circunferência e área de um círculo, a área de um triângulo , de um volume de cilindro, esfera , e uma pirâmide. Desenvolvimento de astronomia levaram à emergência de trigonometria e trigonometria esférica, em conjunto com as técnicas computacionais concomitantes.
Geometria axiomática
Um método de computação determinadas distâncias ou alturas inacessíveis com base em similaridade das figuras geométricas e atribuída a Thales pressagiava abordagem mais abstrata para geometria tomada por Euclides em seus elementos , um dos livros mais influentes já escritos. Euclides introduziu certa axiomas, ou postula, expressando propriedades primárias ou auto-evidentes de pontos, linhas e planos. Ele começou a deduzir rigorosamente outras propriedades de raciocínio matemático. A principal característica da abordagem de Euclides a geometria era seu rigor. No século XX, David Hilbert empregadas raciocínio axiomático em sua tentativa de atualizar Euclides e fornecer bases modernas de geometria.
Construções geométricas
Cientistas antigos especial atenção à construção de objectos geométricos que haviam sido descritas em alguma outra maneira. Instrumentos clássicos permitidos em construções geométricas são a régua e compasso . No entanto, alguns problemas acabou por ser difícil ou impossível de resolver apenas por esses meios, e construções engenhosas usando parábolas e outras curvas, bem como dispositivos mecânicos, foram encontrados. A abordagem de problemas geométricos com médias geométricas ou mecânicas é conhecido como geometria sintética.
Os números em geometria
Já Pitagóricos consideraram o papel de números em geometria. No entanto, a descoberta de comprimentos incomensuráveis, que contradiziam os seus pontos de vista filosóficos, os fez abandonar (abstrato) números em favor do (concreto) quantidades geométricas, tais como comprimento e área de figuras. Números foram reintroduzidos na geometria na forma de coordenadas por Descartes , que percebeu que o estudo de formas geométricas pode ser facilitado pela sua representação algébrica. A geometria analítica aplica métodos de álgebra a perguntas geométricas, normalmente relacionando geométricas curvas algébricas e equações . Essas idéias desempenharam um papel fundamental no desenvolvimento de cálculo no século XVII e levou à descoberta de muitas novas propriedades de curvas planas. Moderno geometria algébrica considera perguntas semelhantes sobre um nível muito mais abstrato.
Geometria de posição
Mesmo nos tempos antigos, geômetras considerado questões de posição relativa ou relação espacial de figuras e formas geométricas. Alguns exemplos são dados por círculos inscritos e circunscritos de polígonos , linhas de interseção e tangente à cónica seções , os Pappus e Menelau configurações de pontos e linhas. Na Idade Média, novas e mais complicadas perguntas deste tipo foram consideradas: Qual é o número máximo de esferas tocando simultaneamente uma determinada esfera do mesmo raio ( beijando o problema número)? O que é o mais denso embalagem de esferas de igual tamanho no espaço ( Kepler conjectura)? A maioria destas questões envolvidas formas geométricas "rígidos", como linhas ou esferas. Projetiva, convexo e geometria discreta são três subdisciplinas dentro geometria hoje que lidar com essas e outras perguntas.
Um novo capítulo na Geometria situs foi aberta por Leonhard Euler , que corajosamente expulso propriedades métricas de figuras geométricas e considerou sua estrutura geométrica mais fundamental baseada exclusivamente em forma. Topologia , que cresceu a partir da geometria, mas se transformou em uma grande disciplina independente, faz não diferenciar entre objectos que podem ser deformadas continuamente uma na outra. Os objectos podem, no entanto, reter alguns geometria, como no caso de nós hiperbólicas.
Geometria além Euclid
Por quase dois mil anos desde Euclides, enquanto que a gama de questões geométricas feitas e respondidas inevitavelmente expandido, conhecimento básico de espaço permaneceu essencialmente o mesmo. Immanuel Kant argumentou que existe apenas um, absoluta, geometria, que é conhecido por ser verdade a priori por uma faculdade interior da mente: a geometria euclidiana era sintéticos a priori. Essa visão dominante foi anulada pela descoberta revolucionária da geometria não-euclidiana nos trabalhos de Gauss (que nunca publicou sua teoria), Bolyai, e Lobachevsky, que demonstraram que ordinário espaço euclidiano é apenas uma possibilidade para o desenvolvimento da geometria. Uma visão ampla do assunto da geometria foi então expressa por Riemann em sua palestra Inaugurational Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre as hipóteses em que se baseia a geometria), publicados apenas após sua morte. Nova ideia de Riemann de espaço provou ser crucial em Einstein 's teoria da relatividade geral e Geometria de Riemann, que considera espaços muito gerais em que a noção de comprimento é definido, é um dos pilares da geometria moderna.
Simetria
O tema da simetria na geometria é quase tão antiga quanto a ciência da própria geometria. O círculo , polígonos regulares e sólidos platônicos realizada profundo significado para muitos filósofos antigos e foram investigados em detalhe pelo tempo de Euclides. Padrões simétricos ocorrem na natureza e foram artisticamente renderizado em uma infinidade de formas, incluindo os gráficos desconcertante de MC Escher. No entanto, não foi até a segunda metade do século XIX que o papel unificador de simetria em fundamentos da geometria tivesse sido reconhecida. Felix Klein Programa de Erlangen proclamou que, em um sentido muito preciso, simetria, expressa através da noção de uma transformação do grupo , o que determina a geometria é. Simetria no clássico geometria euclidiana é representado por congruências e movimentos rígidos, enquanto em geometria projetiva um papel análogo é jogado por collineations, transformações geométricas que levam linhas retas em linhas retas. No entanto, foi nas novas geometrias de Bolyai e Lobachevsky, Riemann, Clifford e Klein, e Sophus Lie que a idéia de Klein para 'definir uma geometria através do seu grupo de simetria "provou mais influente. Ambos simetrias discretas e contínuas desempenhar papel proeminente na geometria, o ex-em topologia e a teoria do grupo geométrico, este último em Teoria de Lie e Geometria de Riemann.
Geometria moderna
Geometria moderna é o título de um livro popular por Dubrovin, Novikov, e Fomenko publicado pela primeira vez em 1979 (em russo). Em cerca de 1000 páginas, o livro tem um segmento importante: estruturas geométricas de vários tipos de manifolds e suas aplicações na contemporânea física teórica. Um quarto de século após a sua publicação, geometria diferencial , Geometria Algébrica, geometria simplética, e Teoria de Lie apresentada no livro permanecem entre as áreas mais visíveis da geometria moderna, com várias conexões com outras partes da matemática e da física.
Geometers Contemporânea
Algumas das principais figuras representativas da geometria moderna são Michael Atiyah, Mikhail Gromov, e William Thurston. A característica comum no seu trabalho é a utilização de variedades suaves como a idéia básica do espaço; caso contrário eles têm bastante diferentes direções e interesses. Geometria agora é, em grande parte, o estudo das estruturas em variedades que têm um significado geométrico, no sentido de a princípio da covariância que está na raiz da relatividade geral teoria da física teórica. (Ver Categoria: Estruturas de colectores para uma pesquisa).
Muita desta teoria relaciona-se com a teoria de simetria contínua, ou por outras palavras Grupos de Lie. Do ponto de vista fundamental, em colectores e as suas estruturas geométricas, importante é o conceito de pseudogroup, definida formalmente por Shiing-Shen Chern em idéias que buscam introduzidas pela Élie Cartan. A pseudogroup pode desempenhar o papel de um grupo de Lie de dimensão infinita.
Dimensão
Quando a geometria tradicional permitido dimensões de 1 (um line), 2 (um avião ) e 3 (nosso mundo ambiente concebido como espaço tridimensional), os matemáticos têm utilizado dimensões superiores para quase dois séculos. Dimensão passou por fases de ser qualquer número natural n, possivelmente infinito, com a introdução de Espaço de Hilbert, e qualquer número real positivo na geometria fractal . Teoria dimensão é uma área técnica, inicialmente dentro topologia geral, que discute definições; em comum com a maioria das idéias matemáticas, dimensão é agora definida em vez de uma intuição. Conectado variedades topológicas tem uma dimensão bem definida; este é um teorema ( invariância de domínio), em vez de nada a priori.
A questão da dimensão ainda é importante para a geometria, na ausência de respostas completas às perguntas clássicas. Dimensões do espaço 3 e 4 de espaço-tempo são casos especiais em topologia geométrica. Dimension 10 ou 11 é um número fundamental na teoria das cordas . Exatamente por isso é algo a que a investigação possa trazer uma resposta satisfatória geométrica.
Geometria euclidiana Contemporânea
O estudo da tradicional geometria euclidiana é, não significa morto. É agora geralmente apresentados como a geometria de espaços Euclidiana de qualquer dimensão, e de a Euclidiana grupo de movimentos rígidos. As fórmulas fundamentais da geometria, como o teorema de Pitágoras , pode ser apresentada neste caminho para um general espaço com produto interno.
Geometria euclidiana tornou-se intimamente ligado com geometria computacional, gráficos de computador, geometria convexa, geometria discreta, e algumas áreas de combinatória . Momentum foi dado a prossecução dos trabalhos sobre a geometria euclidiana e os grupos de Euclidiana por cristalografia eo trabalho de HSM Coxeter, e pode ser visto nas teorias de Grupos de Coxeter e polytopes. A teoria do grupo geométrico é uma área em expansão da teoria da mais geral grupos distintos, com base nos modelos geométricos e técnicas algébricas.
Geometria Algébrica
O campo de geometria algébrica é a encarnação moderna da geometria cartesiana de co-ordenadas. Depois de um período de turbulenta axiomatization, seus fundamentos estão no século XXI numa base estável. Ou se estuda o caso "clássica", onde os espaços são variedades complexas que podem ser descritos pela equações algébricas; ou o teoria regime prevê uma teoria tecnicamente sofisticada baseada em geral anéis comutativos .
O estilo geométrico que era tradicionalmente chamado de Escola italiana é agora conhecido como geometria birracional. Ele tem feito progressos nos domínios da threefolds, teoria e singularidade espaços modulares, bem como recuperar e corrigir a maior parte dos resultados mais velhos. Objetos de geometria algébrica agora são comumente aplicados na teoria das cordas , bem como geometria diofantina.
Métodos de geometria algébrica dependem fortemente de teoria de feixes e de outras partes álgebra homológica. O Hodge conjectura é um problema em aberto que tem vindo a tomar o seu lugar como uma das principais questões para os matemáticos. Para aplicações práticas, Teoria base Gröbner e verdadeira geometria algébrica são os principais subcampos.
Geometria diferencial
A geometria diferencial , o qual em termos simples, é a geometria de curvatura, tem sido de importância crescente para a física matemática desde a sugestão de que o espaço não é espaço plano. Geometria diferencial contemporânea é intrínseco, o que significa que o espaço é um colector e estrutura é dada por um Métrica Riemanniana, ou analógico, localmente determinar uma geometria que é variável de ponto a ponto.
Esta abordagem contrasta com o ponto de vista extrínseca, onde curvatura significa a forma de um espaço se curva dentro de um espaço maior. A idéia de espaços 'maiores' é descartado e, em vez manifolds transportar fibrados vetoriais. Fundamental para esta abordagem é a ligação entre a curvatura e classes características, como exemplificado pelo generalizada teorema de Gauss-Bonnet.
Topologia e geometria
O campo da topologia , que viu um enorme desenvolvimento no século 20, é em sentido técnico, um tipo de geometria de transformação, em que transformações são homeomorfismos . Isto tem sido frequentemente expressa sob a forma do dito 'topologia é a geometria de borracha folhas'. Contemporâneo e topologia geométrica topologia diferencial e subcampos específicos, tais como A teoria de Morse, seria contado pela maioria dos matemáticos como parte de geometria. Topologia algébrica e topologia geral passaram suas próprias maneiras.
Desenvolvimento axiomático e aberto
O modelo dos Elementos de Euclides, um desenvolvimento ligado de geometria como um sistema axiomático, está em tensão com Redução de René Descartes da geometria para a álgebra por meio de um sistema de coordenadas. Havia muitos campeões de geometria sintética, do desenvolvimento Euclid-estilo de geometria projetiva, no século XIX, Jakob Steiner ser uma figura particularmente brilhante. Em contraste com tais abordagens à geometria como um sistema fechado, culminando em De Hilbert axiomas e considerado de importante valor pedagógico, a maioria geometria contemporânea é uma questão de estilo. Geometria computacional sintética é agora uma filial do álgebra computacional.
A abordagem cartesiana predomina atualmente, com questões geométricas que está sendo abordado por ferramentas de outras partes da matemática e teorias geométricas sendo bastante aberta e integrada. Isto é para ser visto no contexto da axiomatización de toda matemática pura, que passou no período c.1900-c.1950: em princípio todos os métodos são em pé de axiomática comum. Esta abordagem redutora teve vários efeitos. Há uma tendência taxonómico, que se segue Klein e seu programa Erlangen (uma taxonomia com base no conceito subgrupo) organiza teorias de acordo com a generalização e especialização. Por exemplo geometria afim é mais geral do que a geometria euclidiana, e mais especial do que a geometria projetiva. Toda a teoria da grupos clássicos, assim, torna-se um aspecto da geometria. Seu teoria dos invariantes, em um ponto no século XIX levado para ser o mestre teoria geométrica em perspectiva, é apenas um aspecto da geral teoria da representação de grupos de Lie. Uso campos finitos, os grupos clássicos dar origem a grupos finitos, intensivamente estudados em relação ao grupos finitos simples; e associado geometria finita, que tem tanto combinatória (sintético) e lados algebro-geométrico (cartesianas).
Um exemplo de décadas recentes é a twistor teoria da Roger Penrose, inicialmente uma teoria intuitiva e sintético, então, posteriormente, demonstrou ser um aspecto de teoria de feixes em variedades complexas. Em contraste, o geometria não-comutativa de Alain Connes é um uso consciente da linguagem geométrica para expressar fenômenos da teoria da álgebras de von Neumann, e para estender a geometria para o domínio de teoria dos anéis onde a lei comutativa da multiplicação não é assumido.
Outra consequência da abordagem contemporânea, atribuível em grande medida para o leito de Procusto representado por Bourbakiste axiomatization tentando concluir o trabalho de David Hilbert , é criar vencedores e perdedores. O Ausdehnungslehre (cálculo de extensão) Hermann Grassmann foi durante muitos anos um remanso matemática, competindo em três dimensões contra outras teorias populares da área de física matemática , tais como os derivados de quaternions. Em geral a forma de álgebra exterior, tornou-se um beneficiário da apresentação de Bourbaki Multilinear álgebra, e a partir de 1950 tem sido onipresente. Em grande parte da mesma forma, Clifford álgebra tornou-se popular, ajudado por um livro de 1957 Geometric Algebra por Emil Artin. A história de "perdido" métodos geométricos, por exemplo infinitamente perto de pontos, que foram abandonadas, uma vez que não fez bem se encaixar no mundo matemático puro pós- Principia Mathematica, ainda não escrita. A situação é análoga à expulsão de infinitesimais de cálculo diferencial. Tal como nesse caso, os conceitos podem ser recuperada através de abordagens e definições frescos. Aqueles pode não ser único: geometria diferencial sintético é uma abordagem para infinitesimais a partir do lado de lógica categórica, como análise não-padrão é por meio de teoria dos modelos.
